- Existe função inteira
tal que
, para qualquer
? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para saber se existe uma função inteira (isto é, holomorfa em todo
)
cuja parte real seja
Para isso, vamos usar o fato de que, em um domínio conexo, uma função
de classe
é parte real de uma função holomorfa se e somente se
é harmônica (isto é, satisfaz
).
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Logo o laplaciano fica
Como
não é identicamente zero em
, segue que
na maior parte do plano.
Passo 3
Como
, a função
não é harmônica e, portanto, não pode ser a parte real de nenhuma função holomorfa em todo
.
Resposta
Não existe tal função inteira, pois
não é harmônica
.