1. Existe função inteira f=u+i v: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} tal que u(x, y)=x^{2023}+y^{2023}, para qualquer x+i y \in \mathbb{C} ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para saber se existe uma função inteira (isto é, holomorfa em todo \mathbb{C})
f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y)
cuja parte real seja
u(x,y)=x^{2023}+y^{2023}.
Para isso, vamos usar o fato de que, em um domínio conexo, uma função u de classe C^2 é parte real de uma função holomorfa se e somente se u é harmônica (isto é, satisfaz \Delta u=0).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de u:
u_x = 2023\,x^{2022}, \quad u_{xx} = 2023\cdot2022\,x^{2021},
u_y = 2023\,y^{2022}, \quad u_{yy} = 2023\cdot2022\,y^{2021}.
Logo o laplaciano fica
\Delta u = u_{xx}+u_{yy} =2023\cdot2022\,(x^{2021}+y^{2021}).
Como x^{2021}+y^{2021} não é identicamente zero em \mathbb{R}^2, segue que \Delta u\neq0 na maior parte do plano.

Passo 3

Como \Delta u\neq0, a função u não é harmônica e, portanto, não pode ser a parte real de nenhuma função holomorfa em todo \mathbb{C}.

Resposta

Não existe tal função inteira, pois u(x,y)=x^{2023}+y^{2023} não é harmônica \Delta u\neq0.

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