- Seja
uma função inteira.
Demonstre que o seu valor absoluto
não pode ser inteira, a menos que
seja constante.
Passo 1
O enunciado diz que
é inteira (holomorfa em todo
) e supõe que a função
também seja inteira. Queremos mostrar que isso só ocorre se
for constante. Para isso vamos usar dois resultados clássicos de teoria de funções holomorfas:
- Qualquer função holomorfa com valores reais é constante (pelas equações de Cauchy–Riemann).
- Se
é inteira e não constante, então é um conjunto aberto (Teorema da imagem aberta).
Passo 2
Defina
Por hipótese
é holomorfa e tem imagem contida em
. Escrevendo
vemos que
. Das equações de Cauchy–Riemann
segue
logo
é constante em
. Portanto
para algum
e todo
.
Passo 3
Se
para todo
, então a imagem de
está contida na circunferência de raio
centrada em
, que não é um conjunto aberto em
. Mas, se
não fosse constante, o Teorema da Imagem Aberta garante que
seria aberto. A única forma de conciliar isso é que
seja constante.
Resposta
A única maneira de
ser inteira é
ser constante.