- Seja
holomorfa no aberto
. Supondo que
, com
e
de classe
em
, demonstre que
em todos os pontos de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é holomorfa em um aberto
e que escrevemos
com
e
de classe
. Queremos provar que as partes real e imaginária são funções harmônicas, isto é,
em todo ponto de
.
Passo 2
Como
é holomorfa,
e
satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
Aqui e adiante usamos a notação
,
, etc.
Passo 3
Calculemos a laplaciana de
:
Pela primeira equação de Cauchy–Riemann,
Pela segunda equação de Cauchy–Riemann,
Somando,
Como
, as derivadas mistas são iguais
, logo
.
Passo 4
De modo análogo, calculemos
:
Usando
,
e usando
,
Logo
e novamente, por igualdade de derivadas mistas
, vem
.