1. Seja f: \Omega \rightarrow \mathbb{C} holomorfa no aberto \Omega \subset \mathbb{C}. Supondo que f=u+i v, com u e v de classe C^{2} em \Omega, demonstre que { }^{2} \Delta u=\Delta v=0 em todos os pontos de \Omega.

Passo 1

O enunciado diz que f:\Omega\to\mathbb{C} é holomorfa em um aberto \Omega\subset\mathbb{C} e que escrevemos
f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y),
com u e v de classe C^2. Queremos provar que as partes real e imaginária são funções harmônicas, isto é,
\Delta u = u_{xx}+u_{yy}=0 \quad\text{e}\quad \Delta v = v_{xx}+v_{yy}=0
em todo ponto de \Omega.

Passo 2

Como f é holomorfa, u e v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
u_x = v_y \quad\text{e}\quad u_y = -\,v_x.
Aqui e adiante usamos a notação u_x=\partial u/\partial x, v_{xy}=\partial^2 v/\partial x\partial y, etc.

Passo 3

Calculemos a laplaciana de u:
\Delta u = u_{xx}+u_{yy}.
Pela primeira equação de Cauchy–Riemann,
u_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(u_x) = \frac{\partial}{\partial x}(v_y) = v_{yx}.
Pela segunda equação de Cauchy–Riemann,
u_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(u_y) = \frac{\partial}{\partial y}(-v_x) = -\,v_{xy}.
Somando,
\Delta u = v_{yx} - v_{xy}.
Como u,v\in C^2, as derivadas mistas são iguais v_{yx}=v_{xy}, logo \Delta u=0.

Passo 4

De modo análogo, calculemos \Delta v:
\Delta v = v_{xx}+v_{yy}.
Usando u_y=-v_x,
v_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(v_x) = \frac{\partial}{\partial x}(-u_y) = -\,u_{yx},
e usando u_x=v_y,
v_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(v_y) = \frac{\partial}{\partial y}(u_x) = u_{xy}.
Logo
\Delta v = -\,u_{yx} + u_{xy}
e novamente, por igualdade de derivadas mistas u_{xy}=u_{yx}, vem \Delta v=0.

Resposta

\Delta u=0 e \Delta v=0 em todo \Omega.

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