Existe lim (x, y) (0,0) x^4x^4+y^2 ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa determinar se o limite da função x^4x^4+y^2 existe quando (x, y) se aproxima de (0,0). Isso faz parte do estudo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece quando nos aproximamos de (0,0) ao longo do eixo x. Isso significa que estamos fixando y = 0 e deixando x se aproximar de 0.
Substituindo y = 0 na função, temos:
x^4x^4 + 0^2 = x^4x^4 = 1
Então, ao se aproximar de (0,0) pelo eixo x, o limite é 1.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando nos aproximamos de (0,0) ao longo do eixo y. Nesse caso, fixamos x = 0 e deixamos y se aproximar de 0.
Substituindo x = 0 na função, temos:
0^40^4 + y^2 = 0y^2 = 0
Então, ao se aproximar de (0,0) pelo eixo y, o limite é 0.

Passo 4

Percebemos que ao nos aproximarmos de (0,0) por caminhos diferentes, obtemos limites diferentes: 1 pelo eixo x e 0 pelo eixo y. Isso indica que o limite não é o mesmo independente do caminho seguido.

Resposta

Portanto, o limite lim (x, y) (0,0) x^4x^4+y^2 não existe porque os valores do limite variam dependendo do caminho de aproximação.

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