Achar o plano tangente a superfície x^2+y^3+z^22=4 no ponto (1,1,2). Este plano passa pela origem?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o plano tangente à superfície definida por $ x^{2} + y^{3} + \frac{z^{2}}{2} = 4 $ no ponto x^2 + y^3 + z^22 = 4 . Além disso, queremos saber se esse plano passa pela origem (1,1,2). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar planos tangentes a superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de uma forma que facilite o cálculo das derivadas. Vamos definir:
F(x, y, z) = x^2 + y^3 + z^22 - 4 = 0
Aqui, $ F(x, y, z) $ representa a nossa superfície.

Passo 3

Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos calcular as derivadas parciais de $ F $ em relação a cada uma das variáveis $ x $, $ y $ e $ z $. Essas derivadas nos darão as inclinações da superfície nas direções correspondentes.
Calculando as derivadas:
F
x
y

Passo 4

Vamos agora avaliar essas derivadas no ponto dado (1,1,2):
Fx(1,1,2) = 2(1) = 2
Fy(1,1,2) = 3(1)^2 = 3
Fz(1,1,2) = 2
Esses valores representam as inclinações da superfície nas direções $ x $, $ y $ e $ z $ no ponto específico.

Passo 5

A equação do plano tangente em um ponto (a, b, c) para uma superfície $ F(x, y, z) = 0 $ é dada por:
F(x, y, z) = 0
Substituindo $ (a, b, c) = (1, 1, 2) $ e os valores das derivadas que calculamos:
Fx(a,b,c)(x - a) + Fy(a,b,c)(y - b) + Fz(a,b,c)(z - c) = 0

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:
2x - 2 + 3y - 3 + 2z - 4 = 0
Somando os termos constantes:
2x + 3y + 2z - 9 = 0
Então, a equação do plano tangente é:
2x + 3y + 2z - 9 = 0

Passo 7

Agora, vamos verificar se esse plano passa pela origem (0,0,0). Para isso, substituímos $ x = 0 $, $ y = 0 $ e $ z = 0 $ na equação do plano:
x = 0
Como a equação não é satisfeita, concluímos que a origem não está no plano tangente.

Resposta

O plano tangente à superfície $ x^{2} + y^{3} + \frac{z^{2}}{2} = 4 $ no ponto x^2 + y^3 + z^22 = 4 é dado por:
(1,1,2)
Este plano não passa pela origem.

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