Achar o plano tangente a superfície
no ponto
. Este plano passa pela origem?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o plano tangente à superfície definida por $ x^{2} + y^{3} + \frac{z^{2}}{2} = 4 $ no ponto
. Além disso, queremos saber se esse plano passa pela origem
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar planos tangentes a superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de uma forma que facilite o cálculo das derivadas. Vamos definir:
Aqui, $ F(x, y, z) $ representa a nossa superfície.
Passo 3
Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos calcular as derivadas parciais de $ F $ em relação a cada uma das variáveis $ x $, $ y $ e $ z $. Essas derivadas nos darão as inclinações da superfície nas direções correspondentes.
Calculando as derivadas:
Passo 4
Vamos agora avaliar essas derivadas no ponto dado
:
Esses valores representam as inclinações da superfície nas direções $ x $, $ y $ e $ z $ no ponto específico.
Passo 5
A equação do plano tangente em um ponto
para uma superfície $ F(x, y, z) = 0 $ é dada por:
Substituindo $ (a, b, c) = (1, 1, 2) $ e os valores das derivadas que calculamos:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação:
Somando os termos constantes:
Então, a equação do plano tangente é:
Passo 7
Agora, vamos verificar se esse plano passa pela origem
. Para isso, substituímos $ x = 0 $, $ y = 0 $ e $ z = 0 $ na equação do plano:
Como a equação não é satisfeita, concluímos que a origem não está no plano tangente.
Resposta
O plano tangente à superfície $ x^{2} + y^{3} + \frac{z^{2}}{2} = 4 $ no ponto
é dado por:
Este plano não passa pela origem.