Existe k \in \mathbb{R} tal que f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\operatorname{sen}(1 / x) & \text { se } x \neq 0 \\\ k & \text { se } x=0\end{array}\right. seja continua em \mathbb{R} ?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \sin\bigl(\tfrac1x\bigr),&\text{se }x\neq0,\\\ k,&\text{se }x=0, \end{cases}
e pergunta se existe k\in\mathbb{R} que torne f contínua em todo \mathbb{R}. O conteúdo envolvido é continuidade de função definida por partes e existência de limite quando x\to0.

Passo 2

Para x\neq0, a função \sin(1/x) é composição de funções contínuas ( x\mapsto1/x e \sin), então f já é contínua em todo ponto x\neq0. Resta analisar a continuidade em x=0.

Passo 3

Uma função é contínua em 0 se e somente se
\lim_{x\to0}f(x)=f(0)=k.
Logo precisamos verificar se \lim_{x\to0}\sin(1/x) existe. Para mostrar que esse limite não existe, basta exibir duas sequências que tendem a zero, mas cujas imagens em \sin(1/x) têm limites diferentes.
Considere as sequências
x_n = \frac{1}{n\pi} \quad\text{e}\quad y_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n},
ambas com x_n\to0 e y_n\to0 quando n\to\infty. Então
f(x_n)=\sin(n\pi)=0 \quad\text{e}\quad f(y_n)=\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2}+2\pi n\Bigr)=1.
Como os dois limites são diferentes ( 0\neq1), concluímos que
\lim_{x\to0}\sin\bigl(\tfrac1x\bigr)
não existe. Portanto não há valor de k que faça
\lim_{x\to0}f(x)=k.

Resposta

Não existe k\in\mathbb{R} que torne f contínua em \mathbb{R}.

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