Existe
tal que
seja continua em
?
Passo 1
O enunciado define a função
e pergunta se existe
que torne
contínua em todo
. O conteúdo envolvido é continuidade de função definida por partes e existência de limite quando
.
Passo 2
Para
, a função
é composição de funções contínuas (
e
), então
já é contínua em todo ponto
. Resta analisar a continuidade em
.
Passo 3
Uma função é contínua em
se e somente se
Logo precisamos verificar se
existe. Para mostrar que esse limite não existe, basta exibir duas sequências que tendem a zero, mas cujas imagens em
têm limites diferentes.
Considere as sequências
ambas com
e
quando
. Então
Como os dois limites são diferentes (
), concluímos que
não existe. Portanto não há valor de
que faça
.
Resposta
Não existe
que torne
contínua em
.