Todo inteiro tem um único inverso aditivo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, no conjunto dos inteiros
com a operação de adição, cada elemento
possui um e somente um elemento
tal que
Para isso vamos provar duas coisas: existência de um inverso aditivo para cada
e unicidade desse inverso.
Passo 2
(Existência) Basta observar que, para todo
, o número
também é um inteiro e satisfaz
pela definição de número oposto. Logo, todo
tem pelo menos um inverso aditivo, que é
.
Passo 3
(Unicidade) Suponha que
e
sejam ambos inversos aditivos de
. Então
Aplicando a propriedade cancelativa da adição (somando
dos dois lados), temos
Assim, qualquer dois inversos aditivos de
devem ser iguais, o que prova a unicidade.
Resposta
Para cada
, dado por
, tal que
.)