Todo inteiro tem um único inverso aditivo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no conjunto dos inteiros \mathbb{Z} com a operação de adição, cada elemento a\in\mathbb{Z} possui um e somente um elemento b\in\mathbb{Z} tal que
a + b = 0.
Para isso vamos provar duas coisas: existência de um inverso aditivo para cada a e unicidade desse inverso.

Passo 2

(Existência) Basta observar que, para todo a\in\mathbb{Z}, o número -a também é um inteiro e satisfaz
a + (-a) = 0,
pela definição de número oposto. Logo, todo a tem pelo menos um inverso aditivo, que é -a.

Passo 3

(Unicidade) Suponha que b e c sejam ambos inversos aditivos de a. Então
a + b = 0 \quad\text{e}\quad a + c = 0.
Aplicando a propriedade cancelativa da adição (somando -a dos dois lados), temos
b = b + 0 = b + (a + c) = (b + a) + c = 0 + c = c.
Assim, qualquer dois inversos aditivos de a devem ser iguais, o que prova a unicidade.

Resposta

Para cada a\in\mathbb{Z}$ existe exatamente um \(b\in\mathbb{Z}, dado por b=-a, tal que a + b = 0.)

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