Existe variação na medida do tempo entre dois referências inercias quando um está em movimento? Justifique e quantifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se dois relógios em referenciais inerciais distintos, em movimento relativo de velocidade constante v, medem o mesmo intervalo de tempo entre dois mesmos eventos. O conteúdo aqui é Relatividade Restrita, em particular o fenômeno de dilatação temporal, e vamos precisar das transformações de Lorentz para relacionar as coordenadas espaço-tempo nos dois referenciais.

Passo 2

Em Relatividade Restrita temos dois postulados:
  1. As leis da Física são as mesmas em todo referencial inercial.
  2. A velocidade da luz no vácuo vale sempre \displaystyle c em qualquer referencial inercial.
Desses postulados decorre que as coordenadas (x,t) em um referencial S e (x',t') em outro S', movendo-se com velocidade v ao longo de x, se relacionam pelas transformações de Lorentz:
t' \;=\; \gamma\!\Bigl(t - \frac{v\,x}{c^2}\Bigr), \qquad x' \;=\; \gamma\!\bigl(x - v\,t\bigr),
onde
\gamma \;=\;\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}
é o fator de Lorentz.

Passo 3

Para estudar a medida do tempo entre dois eventos que ocorrem no mesmo ponto do referencial S' (ou seja, para um relógio parado em S' temos x'_1 = x'_2), note que nesses casos \Delta x' = 0. A diferença de tempo medida em S' é o tempo próprio
\Delta \tau \;\equiv\; \Delta t'
entre os dois eventos. Da transformação inversa temos, para \Delta x'=0:
\Delta t \;=\;\gamma\,\Delta \tau.

Passo 4

Conclusão: o intervalo de tempo \Delta t medido em S é maior que o tempo próprio \Delta \tau medido no relógio em S'. Esse efeito é a dilatação do tempo. Ou seja, para um observador em S o relógio que se move com velocidade v marca um intervalo de tempo dilatado em relação ao seu próprio:
\Delta t \;=\;\gamma\,\Delta \tau \quad\text{com}\quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\,.

Resposta

Sim. Um relógio em movimento relativo àquele que o observa marca um intervalo de tempo dilatado segundo
\Delta t = \gamma\,\Delta \tau,
onde \Delta \tau é o tempo próprio (medido pelo relógio em repouso nele mesmo) e \gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}.

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