Um trem hipotético se locomove sobre um trilho reto e infinito, qual deve ser a velocidade do trem para um observador parado na estação para nas seguintes configurações:
(a) Para ter o comprimento reduzido em 3 / 4.
(b) Para ter a altura reduzida pela metade.
(c) Para um observador que observa o trem se mover com velocidade igual à calculada no item (a). Se um feixe luminoso for emitido no trem, qual a velocidade desse feixe para o observador que observa o trem?
(d) No referencial do trem, um experimento leva aproximadamente 1,25 \mathrm{hr}. Qual o tempo desse mesmo experimento para um observador que observa o trem se locomover com velocidade igual a calculada no item (a).

Passo 1

O enunciado trata de transformações relativísticas num trem que se move a velocidade v em relação a um observador na estação. Vamos usar:
  1. Contração de comprimentos ao longo da direção do movimento, dada por
L = \frac{L_0}{\gamma},\quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}.
  1. Invariância das dimensões transversas (nenhuma contração na altura).
  2. Invariância da velocidade da luz ( c) para todos os referenciais.
  3. Dilatação do tempo, dada por
\Delta t = \gamma\,\Delta \tau,
onde \Delta \tau é o tempo próprio (medido no trem) e \Delta t é o tempo medido pelo observador na estação.

Passo 2

Para reduzir o comprimento em 3/4 significa que o comprimento observado L fica
L = L_0 - \tfrac{3}{4}L_0 = \tfrac{1}{4}L_0,
ou seja
\frac{L}{L_0} = \frac{1}{4} = \frac{1}{\gamma} \quad\Longrightarrow\quad \gamma = 4.
Logo
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 4 \quad\Longrightarrow\quad 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{16} \quad\Longrightarrow\quad v = c\sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}\,c.

Passo 3

A altura é perpendicular à direção do movimento, e na relatividade especial apenas a dimensão longitudinal se contrai. Portanto a altura não se reduz para nenhum v<c; ela permanece igual à sua medida de repouso.

Passo 4

Pela segunda postulado da relatividade especial, a velocidade de qualquer feixe luminoso no vácuo é sempre
c
em qualquer referencial inercial. Logo o observador na estação vê o feixe saindo do trem também com velocidade c.

Passo 5

No referencial do trem o experimento dura \Delta \tau = 1,25 h. Para o observador na estação, pelo efeito de dilatação do tempo,
\Delta t = \gamma\,\Delta \tau = 4 \times 1,25\\ \mathrm{h} = 5\\ \mathrm{h}.

Resposta

(a) v = \dfrac{\sqrt{15}}{4}\,c.
(b) A altura não se reduz (não há contração transversal).
(c) c.
(d) 5\\ \mathrm{h}.

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