Existem dois ângulos de lançamento para os quais o alcance horizontal é o mesmo. Prove que a soma das alturas máximas para esses dois ângulos não depende do ângulo de lançamento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que existem dois ângulos de lançamento que fazem com que o alcance horizontal (a distância que o projétil percorre no ar) seja o mesmo. Nosso objetivo é provar que a soma das alturas máximas desses dois ângulos não depende do ângulo de lançamento. Vamos usar conceitos de movimento de projéteis para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula do alcance horizontal $ R $ de um projétil lançado com velocidade inicial $ v_0 $ e ângulo $ \theta $:
Aqui, $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Como existem dois ângulos que dão o mesmo alcance $ R $, podemos chamar esses ângulos de $ \theta $ e $ \phi $. Então, temos:
Simplificando, fica:
Passo 4
Sabemos que se $ \sin(A) = \sin(B) $, então $ A = B $ ou $ A = 180^\circ - B $. Aplicando isso aos nossos ângulos:
Então, os dois ângulos que dão o mesmo alcance são $ \theta $ e $ 90^\circ - \theta $.
Passo 5
Agora, vamos lembrar da fórmula para a altura máxima $ H $ de um projétil:
Passo 6
Vamos calcular a soma das alturas máximas para os dois ângulos $ \theta $ e $ \phi = 90^\circ - \theta $:
Passo 7
Sabemos que $ \sin(90^\circ - \theta) = \cos(\theta) $. Então, substituindo:
Passo 8
Fatorando $ \frac{v_0^2}{2g} $:
Passo 9
Lembramos que $ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 $. Então:
Resposta
A soma das alturas máximas para os dois ângulos de lançamento é $ \frac{v_0^2}{2g} $, ou seja, não depende do ângulo de lançamento.