Existem dois ângulos de lançamento para os quais o alcance horizontal é o mesmo. Prove que a soma das alturas máximas para esses dois ângulos não depende do ângulo de lançamento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que existem dois ângulos de lançamento que fazem com que o alcance horizontal (a distância que o projétil percorre no ar) seja o mesmo. Nosso objetivo é provar que a soma das alturas máximas desses dois ângulos não depende do ângulo de lançamento. Vamos usar conceitos de movimento de projéteis para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula do alcance horizontal $ R $ de um projétil lançado com velocidade inicial $ v_0 $ e ângulo $ \theta $:
R
Aqui, $ g $ é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Como existem dois ângulos que dão o mesmo alcance $ R $, podemos chamar esses ângulos de $ \theta $ e $ \phi $. Então, temos:
R
Simplificando, fica:
theta

Passo 4

Sabemos que se $ \sin(A) = \sin(B) $, então $ A = B $ ou $ A = 180^\circ - B $. Aplicando isso aos nossos ângulos:
sin(A) = sin(B)
Então, os dois ângulos que dão o mesmo alcance são $ \theta $ e $ 90^\circ - \theta $.

Passo 5

Agora, vamos lembrar da fórmula para a altura máxima $ H $ de um projétil:
H

Passo 6

Vamos calcular a soma das alturas máximas para os dois ângulos $ \theta $ e $ \phi = 90^\circ - \theta $:
theta

Passo 7

Sabemos que $ \sin(90^\circ - \theta) = \cos(\theta) $. Então, substituindo:
sin(90^circ - theta) = cos(theta)

Passo 8

Fatorando $ \frac{v_0^2}{2g} $:
v0^22g

Passo 9

Lembramos que $ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 $. Então:
sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1

Resposta

A soma das alturas máximas para os dois ângulos de lançamento é $ \frac{v_0^2}{2g} $, ou seja, não depende do ângulo de lançamento.

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