Um projétil é lançado do chão em um ângulo theta com a horizontal. Após 1 s , move-se em um ângulo de 45^circ com a horizontal e após 2 s , move-se horizontalmente. Determine a velocidade de lançamento do projétil. ( g=10 m s^-2 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento de projéteis! O problema fala sobre um projétil lançado do chão com um ângulo θ em relação à horizontal. Queremos descobrir qual foi a velocidade inicial desse lançamento. Para isso, vamos usar conceitos de física sobre movimentos horizontais e verticais de projéteis, além de aplicar algumas trigonometria e equações do movimento uniformemente variado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o projétil se move. Quando um projétil é lançado, ele tem duas componentes de velocidade:
  1. Horizontal (Vₓ): Essa parte da velocidade permanece constante durante todo o trajeto, já que não há aceleração horizontal (desprezando a resistência do ar).
  2. Vertical (Vᵧ): Essa parte da velocidade muda devido à aceleração da gravidade (g = 10 m/s² no nosso caso).
A velocidade inicial pode ser decomposta nessas duas componentes:
V₀ cos(theta) = Vₓ
V₀ sin(theta) = Vᵧ

Passo 3

Após 1 segundo, o projétil forma um ângulo de 45° com a horizontal. Isso significa que as componentes horizontal e vertical da velocidade são iguais nesse instante, porque:
tan(45°) = 1 = VᵧVₓ
Vᵧ = Vₓ
Sabemos que a velocidade vertical após 1 segundo é:
Vᵧ = V₀ sin(theta) - g cdot t
V₁ = V₀ sin(theta) - 10 cdot 1
V₁ = V₀ sin(theta) - 10
Como $ V₁ = Vₓ $ e $ Vₓ = V₀ \cos(\theta) $, temos:
V₁ = Vₓ
Vₓ = V₀ cos(theta)   (1)

Passo 4

Agora, analisando o que acontece após 2 segundos, o projétil se move horizontalmente. Isso significa que a componente vertical da velocidade é zero nesse instante:
V₂ = V₀ sin(theta) - g cdot t
0 = V₀ sin(theta) - 10 cdot 2
V₀ sin(theta) = 20   (2)

Passo 5

Vamos substituir a equação (2) na equação (1):
20 = V₀ cos(theta) + 10
V₀ cos(theta) = 10   (3)

Passo 6

Agora temos duas equações:
V₀ sin(theta) = 20   (2)
V₀ cos(theta) = 10   (3)
Para encontrar $ V₀ $, vamos usar a identidade trigonométrica:
V₀
Dividindo as duas equações por $ V₀ $ e elevando ao quadrado:
sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1
V₀
(20V₀)^2 + (10V₀)^2 = 1
400V₀^2 + 100V₀^2 = 1
500V₀^2 = 1
V₀^2 = 500

Resposta

A velocidade de lançamento do projétil é $ V₀ = 10\sqrt{5} \ m/s $, aproximadamente 22,36 m/s.

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