Existem dois comprimentos de onda designados para o elétron: o comprimento de onda Compton e o comprimento de onda de De Broglie. Qual é o comprimento de onda físico real associado com o elétron?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é o comprimento de onda físico real associado ao elétron, citando dois comprimentos de onda: o comprimento de onda de Compton e o comprimento de onda de De Broglie. As informações dadas são: existem esses dois comprimentos de onda associados ao elétron e precisamos decidir qual deles é o “comprimento de onda físico real”. Não há outros dados numéricos no enunciado.

Passo 2

Definindo o comprimento de onda de De Broglie e de onde ele vem. A ideia de De Broglie é que uma partícula com momento \,p\, comporta-se como uma onda de comprimento de onda dado por
\lambda_{dB}=\frac{h}{p},
onde \,h\, é a constante de Planck e \,p\, é o momento linear da partícula. Explicando as variáveis:
  • \,h\, é uma constante universal ( \,h\approx6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\\ s}\,).
  • \,p\, é o momento linear; para velocidades não relativísticas usamos \,p=m v\,, onde \,m\, é a massa da partícula e \,v\, sua velocidade.
    Significado físico prático: \lambda_{dB} é a onda que aparece em fenômenos de interferência e difração de partículas (por exemplo, difração de elétrons em um cristal). É um comprimento de onda “de movimento” — depende de quão rápido o elétron está se movendo.

Passo 3

Exemplo numérico simples para sentir ordens de grandeza (sem relatividade): considere um elétron com velocidade \,v=1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}. A massa do elétron é \,m_e\approx9{,}109\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}. Então
p=m_e v \approx 9{,}109\times10^{-31}\cdot1{,}0\times10^{6}=9{,}109\times10^{-25}\\ \mathrm{kg\,m/s}.
Logo
\lambda_{dB}=\frac{h}{p}\approx\frac{6{,}626\times10^{-34}}{9{,}109\times10^{-25}}\approx7{,}3\times10^{-10}\\ \mathrm{m},
ou seja, ordem de 10^{-10}\\ \mathrm{m} (ângstrom), que é exatamente a escala em que elétrons mostram difração em cristais e microscopia eletrônica. Isso ilustra que \lambda_{dB} depende do estado de movimento do elétron.

Passo 4

Definindo o comprimento de onda de Compton e de onde ele surge. O comprimento de onda de Compton é
\lambda_{C}=\frac{h}{m c},
onde \,m\, é a massa de repouso do elétron e \,c\, é a velocidade da luz. Existe também a versão reduzida
\bar{\lambda}_C=\frac{\hbar}{m c}=\frac{\lambda_C}{2\pi},
com \,\hbar=\frac{h}{2\pi}. Origem física: \lambda_C aparece em espalhamento Compton (fórmula do desvio de comprimento de onda) e é uma escala de comprimento intrínseca ligada à massa da partícula — não é a “onda de movimento” do elétron, mas sim uma escala abaixo da qual efeitos relativísticos e de criação/aniquilação de partículas tornam-se importantes.

Passo 5

Cálculo numérico do comprimento de Compton do elétron. Usando \,h\approx6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}, \,m_e\approx9{,}109\times10^{-31}\\ \mathrm{kg} e \,c\approx2{,}998\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},
\lambda_C=\frac{h}{m_e c}\approx\frac{6{,}626\times10^{-34}}{9{,}109\times10^{-31}\cdot2{,}998\times10^{8}}\approx2{,}426\times10^{-12}\\ \mathrm{m}.
A versão reduzida é
\bar{\lambda}_C=\frac{\lambda_C}{2\pi}\approx3{,}861\times10^{-13}\\ \mathrm{m}.
Esses valores mostram que \lambda_C é muito menor que \lambda_{dB} típico para elétrons lentos — é uma escala sub-nuclear em comparação com a escala atômica.

Passo 6

Interpretação física comparativa (quando usar cada um). Resumindo de forma prática e intuitiva:
  • \lambda_{dB}=\dfrac{h}{p} é a “onda real” que você observa em experimentos de difração/interferência. Se você perguntar “qual é o comprimento de onda do elétron que faz um padrão de difração?”, a resposta é \lambda_{dB}. Ele depende do momento (ou energia cinética) do elétron.
  • \lambda_C=\dfrac{h}{m c} é uma escala de comprimento intrínseca ao elétron, que aparece em efeitos relativísticos e em espalhamento de fótons (espalhamento Compton). Ela marca o limite onde a tentativa de localizar o elétron mais precisamente do que \sim\bar{\lambda}_C exige energias suficientes para criar pares elétron-pósitron, fazendo com que a descrição de “uma única partícula com uma função de onda não-relativística” pare de ser adequada. Então \lambda_C NÃO é tipicamente a “onda observada em interferência”, mas é um comprimento físico real relevante em outros contextos.

Passo 7

Conclusão clara e direta, do jeito que você precisa decorar para a prova: existem realmente dois comprimentos de onda, e ambos são físicos, mas têm papéis diferentes. Para fenômenos de onda (difração/interferência) o comprimento de onda de De Broglie \lambda_{dB}=\dfrac{h}{p} é o que importa. O comprimento de Compton \lambda_C=\dfrac{h}{m c} é uma escala intrínseca ligada à massa que indica quando efeitos relativísticos e de criação de partículas aparecem; numericamente \lambda_C para o elétron é \approx2{,}426\times10^{-12}\\ \mathrm{m}.

Resposta

O elétron tem ambos: o comprimento de onda de De Broglie \lambda_{dB}=\dfrac{h}{p} (é a “onda” observada em difração/interferência, depende do momento) e o comprimento de Compton \lambda_{C}=\dfrac{h}{m c} (é uma escala intrínseca ligada à massa; para o elétron \lambda_{C}\approx2{,}426\times10^{-12}\\ \mathrm{m}).

Exercícios relacionados