Um elétron não relativístico e um próton não relativístico estão em movimento e têm o mesmo comprimento de onda de De Broglie. Quais das seguintes grandezas também têm o mesmo valor para as duas partículas? (a) velocidade escalar; (b) energia cinética; (c) momento; (d) freqüência.
Passo 1
O enunciado diz: um elétron não relativístico e um próton não relativístico têm o mesmo comprimento de onda de De Broglie. Pergunta quais das grandezas abaixo também têm o mesmo valor para as duas partículas: (a) velocidade escalar; (b) energia cinética; (c) momento; (d) frequência. Informação importante dada: o comprimento de onda de De Broglie das duas partículas é o mesmo. Não há outras informações numéricas; considere as massas diferentes (massa do elétron muito menor que a do próton).
Passo 2
Fórmula clave: De Broglie relaciona comprimento de onda e momento linear através de
onde
é o comprimento de onda,
é a constante de Planck e
é o módulo do momento linear da partícula. Aqui
é a mesma constante para ambas as partículas. Como o enunciado dá
igual para as duas partículas, podemos concluir imediatamente que o módulo do momento é o mesmo para as duas:
Isto já responde a (c): o momento tem o mesmo valor.
Passo 3
Agora vamos ver a velocidade escalar. Em regime não relativístico o momento está relacionado à massa
e à velocidade vetorial
por
e, em módulo,
onde
é a velocidade escalar (módulo de
). Como vimos no Passo 2
é o mesmo para ambas as partículas, então
As massas são diferentes: escrevendo
para a massa do elétron e
para a massa do próton, temos
Como
, resulta
. Logo, as velocidades escalares não são iguais. Conclusão para (a): não têm o mesmo valor.
Passo 4
Agora a energia cinética. Em mecânica não relativística a energia cinética de uma partícula de massa
e momento
pode ser escrita como
Note que aqui usamos a forma em função de
(útil porque
é igual para as duas partículas). Mantendo
fixo, vemos que
depende de
. Assim
Como
, segue
. Portanto a energia cinética não é a mesma para as duas partículas. Conclusão para (b): não têm o mesmo valor.
Passo 5
Frequência da onda associada: devemos esclarecer o que se entende por “frequência”. A relação de Planck liga energia à frequência de uma onda associada:
onde
é a energia associada à onda e
é a frequência. No regime não relativístico, a energia apropriada para a onda de matéria é, normalmente, a energia cinética
(o enunciado diz “não relativístico”, então usamos
). Assim
Como
é o mesmo mas
difere, temos frequências diferentes:
e portanto
. Se alguém perguntasse sobre a “frequência de fase” usando energia total relativística
, também seria diferente (porque
é diferente) — então de qualquer modo a frequência não é a mesma. Conclusão para (d): não têm o mesmo valor.
Passo 6
Resumo físico e intuição: ter o mesmo comprimento de onda significa ter o mesmo momento linear (pela relação de Broglie). Mas massa diferente implica que a mesma quantidade de momento corresponde a velocidades diferentes e, para energia cinética
, a mesma quantidade de momento dá energias diferentes. Como a frequência da onda ligada pela relação
depende da energia, ela também difere. Portanto, entre as grandezas propostas, só o momento é igual.
Resposta
(a) não
(b) não
(c) sim
(d) não
(b) não
(c) sim
(d) não