Um elétron não relativístico e um próton não relativístico estão em movimento e têm o mesmo comprimento de onda de De Broglie. Quais das seguintes grandezas também têm o mesmo valor para as duas partículas? (a) velocidade escalar; (b) energia cinética; (c) momento; (d) freqüência.

Passo 1

O enunciado diz: um elétron não relativístico e um próton não relativístico têm o mesmo comprimento de onda de De Broglie. Pergunta quais das grandezas abaixo também têm o mesmo valor para as duas partículas: (a) velocidade escalar; (b) energia cinética; (c) momento; (d) frequência. Informação importante dada: o comprimento de onda de De Broglie das duas partículas é o mesmo. Não há outras informações numéricas; considere as massas diferentes (massa do elétron muito menor que a do próton).

Passo 2

Fórmula clave: De Broglie relaciona comprimento de onda e momento linear através de
\lambda = \frac{h}{p},
onde \lambda é o comprimento de onda, h é a constante de Planck e p é o módulo do momento linear da partícula. Aqui h é a mesma constante para ambas as partículas. Como o enunciado dá \lambda igual para as duas partículas, podemos concluir imediatamente que o módulo do momento é o mesmo para as duas:
p_{\text{elétron}} = p_{\text{próton}}.éó
Isto já responde a (c): o momento tem o mesmo valor.

Passo 3

Agora vamos ver a velocidade escalar. Em regime não relativístico o momento está relacionado à massa m e à velocidade vetorial \vec v por
\vec p = m \vec v,
e, em módulo,
p = m v,
onde v é a velocidade escalar (módulo de \vec v). Como vimos no Passo 2 p é o mesmo para ambas as partículas, então
v = \frac{p}{m}.
As massas são diferentes: escrevendo m_e para a massa do elétron e m_p para a massa do próton, temos
v_e = \frac{p}{m_e},\qquad v_p = \frac{p}{m_p}.
Como m_e \ll m_p, resulta v_e \gg v_p. Logo, as velocidades escalares não são iguais. Conclusão para (a): não têm o mesmo valor.

Passo 4

Agora a energia cinética. Em mecânica não relativística a energia cinética de uma partícula de massa m e momento p pode ser escrita como
K = \frac{p^2}{2m}.
Note que aqui usamos a forma em função de p (útil porque p é igual para as duas partículas). Mantendo p fixo, vemos que K depende de 1/m. Assim
K_e = \frac{p^2}{2m_e},\qquad K_p = \frac{p^2}{2m_p}.
Como m_e \ll m_p, segue K_e \gg K_p. Portanto a energia cinética não é a mesma para as duas partículas. Conclusão para (b): não têm o mesmo valor.

Passo 5

Frequência da onda associada: devemos esclarecer o que se entende por “frequência”. A relação de Planck liga energia à frequência de uma onda associada:
E = h \nu,
onde E é a energia associada à onda e \nu é a frequência. No regime não relativístico, a energia apropriada para a onda de matéria é, normalmente, a energia cinética K (o enunciado diz “não relativístico”, então usamos K). Assim
\nu = \frac{K}{h} = \frac{1}{h}\cdot\frac{p^2}{2m}.
Como p é o mesmo mas m difere, temos frequências diferentes:
\nu_e = \frac{p^2}{2h m_e},\qquad \nu_p = \frac{p^2}{2h m_p},
e portanto \nu_e \gg \nu_p. Se alguém perguntasse sobre a “frequência de fase” usando energia total relativística E_{\text{total}}=mc^2+K, também seria diferente (porque m é diferente) — então de qualquer modo a frequência não é a mesma. Conclusão para (d): não têm o mesmo valor.

Passo 6

Resumo físico e intuição: ter o mesmo comprimento de onda significa ter o mesmo momento linear (pela relação de Broglie). Mas massa diferente implica que a mesma quantidade de momento corresponde a velocidades diferentes e, para energia cinética K=p^2/(2m), a mesma quantidade de momento dá energias diferentes. Como a frequência da onda ligada pela relação E=h\nu depende da energia, ela também difere. Portanto, entre as grandezas propostas, só o momento é igual.

Resposta

(a) não
(b) não
(c) sim
(d) não

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