A partir de uma relação de incerteza, mostre que as oscilações de um circuito LC, excitado por uma tensão eficaz de
, no qual
e
, podem ser descritas pelo Eletromagnetismo Clássico.
Passo 1
O enunciado pede que eu mostre, usando uma relação de incerteza/quântico-clássica, que as oscilações de um circuito LC excitado por uma tensão eficaz de
podem ser descritas pelo Eletromagnetismo Clássico. Dados fornecidos:
O objetivo é comparar a energia clássica armazenada no oscilador com a escala quântica típica (
) e concluir se podemos usar a descrição clássica. Aqui identifiquei o que é pedido e todos os valores numéricos dados. Não vou resolver ainda; apenas listei as informações relevantes.
Passo 2
Vou explicar as fórmulas físicas que precisamos (aula curta e concreta).
- Um circuito LC sem perdas é análogo a um oscilador harmônico. Sua pulsação natural é
Aqui
tem unidade de rad/s;
é indutância (H) e
é capacitância (F).
- A energia máxima armazenada no capacitor (ou no indutor) numa oscilação senoidal de amplitude de pico
é
Essa é a energia clássica total do oscilador (porque, num ciclo, energia troca entre capacitor e indutor).
- Relação entre tensão eficaz (RMS) e tensão de pico para uma senóide:
Explico:
é a definição usual para sinais senoidais.
- Critério quântico-clássico útil: o quantum de energia associado a uma oscilação é aproximadamente
(energia de um “fóton” do modo), e o oscilador quântico tem energia mínima . Se a energia clássica é muito maior que (ou que ), então o número médio de quanta é grande e as flutuações quânticas são desprezíveis: descrição clássica válida. Essa comparação é o uso prático da “relação de incerteza” e da quantização do oscilador harmônico para decidir regime clássico vs quântico.
Passo 3
Calculo a pulsação
.
Primeiro o produto :
Primeiro o produto
Agora a raiz:
Portanto
Interpretação: a frequência é baixa, da ordem de algumas dezenas de hertz (
).
Passo 4
Calculo a energia clássica
fornecida pela tensão eficaz
.
Primeiro encontrando o pico:
Primeiro encontrando o pico:
Quadrado do pico:
Agora a energia:
Faço as contas passo a passo:
Então a energia clássica disponível nas oscilações é
.
Passo 5
Calculo a escala quântica
e comento a relação com a incerteza/quantisamento.
Constante reduzida de Planck: .
Então
Constante reduzida de Planck:
Então
O zero-ponto (energia mínima do oscilador quântico) seria
, da mesma ordem de grandeza; para comparar grosseiramente usamos
como escala.
Explicação didática: a “relação de incerteza” energia-tempo dá uma ideia de que a menor “pacote” de energia associado à oscilação tem escala
. Se a energia clássica
contiver muitos desses pacotes (muitos quanta), as flutuações relativas são pequenas e a descrição clássica funciona bem. Quantitativamente avaliamos o número médio de quanta:
Passo 6
Calculo o número de quanta
e comparo:
Esse valor é enorme:
. Significado físico: existem da ordem de
quanta de energia ocupando o modo oscilatório — ou seja, regime altamente clássico. Portanto as flutuações quânticas (zero-point, incertezas relativas) são insignificantes frente à energia armazenada.
Passo 7
Conclusão e interpretação final (motivação física e incentivo).
Como (relação numérica
), a dinâmica do circuito LC excitado por
está em pleno regime clássico. Em termos práticos: você pode usar as equações de Eletromagnetismo Clássico (leis de Kirchhoff, equação diferencial LC, energia clássica
etc.) sem se preocupar com efeitos quânticos. Força! Esse é o tipo de conta rápida que salva tempo na prova e dá confiança.
Como
Resposta
Sim.
,
e
, portanto a descrição clássica é válida.