1. Existem outras soluções da equação integral (3) além de y= \varphi(t) ? Para mostrar a unicidade da solução, vamos proceder de maneira semelhante à do exemplo. Primeiro, suponha a existência de uma outra solução y=\psi(t). Então, é possível mostrar (veja o Problema 19) que a diferença \varphi(t)-\psi(t) satisfaz a desigualdade
|\varphi(t)-\psi(t)| \leq A \int_{0}^{t}|\varphi(s)-\psi(s)| d s
para 0 \leq t \leq h e um número positivo apropriado A. A partir desse ponto, o argumento é idêntico ao dado no exemplo, e concluímos que não existe outra solução do problema de valor inicial (2) além da gerada pelo método de aproximações sucessivas.

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se existem outras soluções da equação integral (3) além de y=\varphi(t). Foi sugerido começar supondo que exista outra solução y=\psi(t) e mostrou-se (referência: Problema 19) que a diferença satisfaz, para 0\le t\le h, a desigualdade
|\varphi(t)-\psi(t)| \leq A \int_{0}^{t}|\varphi(s)-\psi(s)|\,d s
onde A>0 é um número apropriado. O objetivo daqui em diante é usar essa desigualdade para concluir que \varphi(t)=\psi(t) em [0,h] (ou seja, provar unicidade).
Informações relevantes dadas:
  • Ambas \varphi e \psi são soluções do mesmo problema de valor inicial e, portanto, satisfazem o mesmo valor inicial em t=0; em particular \varphi(0)=\psi(0).
  • A desigualdade acima vale para todo t em [0,h] com algum A>0.
  • Quer-se mostrar que não existe outra solução além de \varphi: isto é, que a diferença \varphi-\psi é identicamente zero em [0,h].

Passo 2

Definir a função diferença e anotar propriedades básicas.
Defina
u(t):=|\varphi(t)-\psi(t)|,\qquad 0\le t\le h.
Observações importantes sobre u:
  • Por ser a diferença de duas soluções contínuas, u é contínua em [0,h].
  • Como \varphi(0)=\psi(0), tem-se
u(0)=0.
  • A desigualdade dada passa a ser, em termos de u,
u(t)\le A\int_{0}^{t} u(s)\,d s,\qquad 0\le t\le h.
O nosso objetivo é mostrar que esta desigualdade forçará u(t)=0 para todo t\in[0,h].

Passo 3

Argumento elementar usando máximo em intervalo inicial pequeno.
Como u é contínua em [0,h], para cada t\in[0,h] existe o máximo
M(t):=\max_{0\le s\le t} u(s).
Da desigualdade u(s)\le A\int_{0}^{s}u(r)\,dr segue, para todo 0\le s\le t,
u(s)\le A\int_{0}^{s}u(r)\,dr \le A\int_{0}^{t} u(r)\,dr \le A\int_{0}^{t} M(t)\,dr = A t\, M(t).
Tomando o máximo sobre s\in[0,t] na desigualdade acima obtemos
M(t)\le A t\, M(t).
Isto implica
\bigl(1 - A t\bigr) M(t) \le 0.
Se escolhermos t tal que 1-A t>0 (ou seja, t<1/A), então a única possibilidade é
M(t)=0.
Portanto, para todo t\in[0,\min(h,1/A)) tem-se M(t)=0, e assim u(s)=0 para todo s\in[0,\min(h,1/A)). Em outras palavras, \varphi(s)=\psi(s) nesse subintervalo inicial.

Passo 4

Extensão da nulidade para todo o intervalo [0,h] por continuação em etapas.
Já provamos que \varphi=\psi em [0,t_1] onde t_1:=\min(h,1/(2A)) (pode escolher 1/(2A) para ficar bem estrito). Agora vamos estender essa igualdade passo a passo até h.
Suponha que já mostramos \varphi=\psi em [0,t_k] para algum t_k<h. Para t\in[t_k,t] com t_k\le t\le t_k+\delta (escolhendo \delta pequeno), reescrevemos a desigualdade original como
u(t)\le A\int_{0}^{t} u(s)\,ds = A\int_{0}^{t_k} u(s)\,ds + A\int_{t_k}^{t} u(s)\,ds.
Pelo passo de indução u(s)=0 em [0,t_k], o primeiro termo à direita é zero, então
u(t)\le A\int_{t_k}^{t} u(s)\,ds,\qquad t_k\le t\le t_k+\delta.
Repetindo o argumento do passo 3 sobre o intervalo deslocado [t_k,t_k+\delta] (considerando M_{k}(t):=\max_{t_k\le s\le t} u(s) e escolhendo \delta tal que A\delta<1), conclui-se que u(t)=0 em [t_k,t_k+\delta]. Assim é possível avançar por etapas finitas cobrindo todo [0,h]: escolher um particionamento finito de [0,h] em subintervalos de comprimento menor que 1/A e aplicar o mesmo argumento em cada etapa. Logo, por recorrência finita, u(t)=0 para todo t\in[0,h].

Passo 5

Observação alternativa (iteração/estimativa com séries) — versão que lembra Gronwall.
Uma outra via padrão é iterar a desigualdade: a partir de
u(t)\le A\int_{0}^{t} u(s)\,ds
fazendo substituições sucessivas obtém-se, por indução,
u(t)\le \frac{(A t)^n}{n!}\,M(t)\qquad\text{para todo }n\in\mathbb{N},
onde M(t)=\max_{0\le s\le t}u(s). Para t fixo, ao fazer n\to\infty o fator (A t)^n/n!\to 0, o que força u(t)\le 0; como u(t)\ge 0 por definição, segue u(t)=0. Isso dá a mesma conclusão e é a ideia por trás do lema de Gronwall (forma simples).

Passo 6

Conclusão final e interpretação.
Dos passos anteriores segue que a diferença u(t)=|\varphi(t)-\psi(t)| é identicamente zero em [0,h]. Portanto \varphi(t)=\psi(t) para todo t\in[0,h]. Assim não existe outra solução do problema de valor inicial (2) além da gerada pelo método de aproximações sucessivas; a solução é única em [0,h].

Resposta

Não. A única solução é y=\varphi(t); ou seja, \varphi(t)=\psi(t) para todo t\in[0,h].

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