- Existem outras soluções da equação integral (3) além de
? Para mostrar a unicidade da solução, vamos proceder de maneira semelhante à do exemplo. Primeiro, suponha a existência de uma outra solução
. Então, é possível mostrar (veja o Problema 19) que a diferença
satisfaz a desigualdade
para
e um número positivo apropriado
. A partir desse ponto, o argumento é idêntico ao dado no exemplo, e concluímos que não existe outra solução do problema de valor inicial (2) além da gerada pelo método de aproximações sucessivas.
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar se existem outras soluções da equação integral (3) além de
. Foi sugerido começar supondo que exista outra solução
e mostrou-se (referência: Problema 19) que a diferença satisfaz, para
, a desigualdade
onde
é um número apropriado. O objetivo daqui em diante é usar essa desigualdade para concluir que
em
(ou seja, provar unicidade).
Informações relevantes dadas:
- Ambas
e são soluções do mesmo problema de valor inicial e, portanto, satisfazem o mesmo valor inicial em ; em particular . - A desigualdade acima vale para todo
em com algum . - Quer-se mostrar que não existe outra solução além de
: isto é, que a diferença é identicamente zero em .
Passo 2
Definir a função diferença e anotar propriedades básicas.
Defina
Observações importantes sobre
:
- Por ser a diferença de duas soluções contínuas,
é contínua em . - Como
, tem-se
- A desigualdade dada passa a ser, em termos de
,
O nosso objetivo é mostrar que esta desigualdade forçará
para todo
.
Passo 3
Argumento elementar usando máximo em intervalo inicial pequeno.
Como
é contínua em
, para cada
existe o máximo
Da desigualdade
segue, para todo
,
Tomando o máximo sobre
na desigualdade acima obtemos
Isto implica
Se escolhermos
tal que
(ou seja,
), então a única possibilidade é
Portanto, para todo
tem-se
, e assim
para todo
. Em outras palavras,
nesse subintervalo inicial.
Passo 4
Extensão da nulidade para todo o intervalo
por continuação em etapas.
Já provamos que
em
onde
(pode escolher
para ficar bem estrito). Agora vamos estender essa igualdade passo a passo até
.
Suponha que já mostramos
em
para algum
. Para
com
(escolhendo
pequeno), reescrevemos a desigualdade original como
Pelo passo de indução
em
, o primeiro termo à direita é zero, então
Repetindo o argumento do passo 3 sobre o intervalo deslocado
(considerando
e escolhendo
tal que
), conclui-se que
em
. Assim é possível avançar por etapas finitas cobrindo todo
: escolher um particionamento finito de
em subintervalos de comprimento menor que
e aplicar o mesmo argumento em cada etapa. Logo, por recorrência finita,
para todo
.
Passo 5
Observação alternativa (iteração/estimativa com séries) — versão que lembra Gronwall.
Uma outra via padrão é iterar a desigualdade: a partir de
fazendo substituições sucessivas obtém-se, por indução,
onde
. Para
fixo, ao fazer
o fator
, o que força
; como
por definição, segue
. Isso dá a mesma conclusão e é a ideia por trás do lema de Gronwall (forma simples).
Passo 6
Conclusão final e interpretação.
Dos passos anteriores segue que a diferença
é identicamente zero em
. Portanto
para todo
. Assim não existe outra solução do problema de valor inicial (2) além da gerada pelo método de aproximações sucessivas; a solução é única em
.
Resposta
Não. A única solução é
; ou seja,
para todo
.