Exemplo 1

Resolva o problema de valor inicial
y^{\prime}=2 t(1+y), \quad y(0)=0 .

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial: a equação diferencial e a condição inicial são
y' = 2 t(1+y), \qquad y(0)=0.
O que se pede é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial para t em algum intervalo contendo 0 e que também verifica a condição y(0)=0. Vou usar o enunciado inteiro: a equação diferencial e o valor inicial.

Passo 2

Vamos manipular a equação para separar as variáveis y e t. A equação está escrita como derivada de y em relação a t igual a uma expressão que é produto de uma função de t por uma função de y. Podemos reescrever
\frac{dy}{dt} = 2t\,(1+y).
Dividindo ambos os lados por 1+y (assumindo momentaneamente 1+y\neq0) e multiplicando por dt, obtemos a forma separada
\frac{dy}{1+y} = 2t\,dt.
Aqui a ideia é que o lado esquerdo depende só de y e o direito só de t, o que nos permite integrar cada lado em relação à sua variável.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados (integrais indefinidas). Lembre que a integral de \dfrac{1}{1+y} em y é \ln|1+y| e a integral de 2t em t é t^2. Então
\int \frac{dy}{1+y} = \int 2t\,dt
leva a
\ln|1+y| = t^2 + C,
onde C é a constante de integração (um número real desconhecido que vamos determinar usando a condição inicial). Uma palavra rápida sobre \ln|1+y|: o logaritmo natural só recebe argumentos positivos, por isso aparece o valor absoluto; mais adiante a condição inicial vai fixar o sinal.

Passo 4

A partir de \ln|1+y| = t^2 + C aplicamos exponencial para isolar y. Temos
|1+y| = e^{t^2 + C} = e^{C} e^{t^2}.
Escrevendo A = e^{C}>0 obtemos
|1+y| = A e^{t^2}.
Isso significa 1+y = \pm A e^{t^2}, mas é comum absorver o sinal no constante e escrever simplesmente
1+y = C_1 e^{t^2},
onde C_1 é uma constante real não nula (pode ser positiva ou negativa). Agora usamos a condição inicial para encontrar C_1.

Passo 5

Aplicando y(0)=0 na fórmula 1+y = C_1 e^{t^2} com t=0:
1 + 0 = C_1 e^{0} \quad\Rightarrow\quad C_1 = 1.
Portanto a constante vale 1 e a solução explícita fica
1+y = e^{t^2} \quad\Rightarrow\quad y(t) = e^{t^2} - 1.

Passo 6

Fazer uma verificação rápida é sempre bom na prova. Calculando a derivada da solução encontrada:
y'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(e^{t^2}-1\bigr) = 2t\,e^{t^2}.
E avaliando o lado direito da equação original com essa y:
2t(1+y) = 2t\bigl(1 + (e^{t^2}-1)\bigr) = 2t\,e^{t^2}.
Como as duas expressões coincidem, a função encontrada satisfaz a equação diferencial. Além disso y(0)=e^{0}-1=0, logo satisfaz a condição inicial.

Passo 7

Comentário final curto sobre domínio e existência: a solução y(t)=e^{t^2}-1 é bem definida para todo t\in\mathbb{R}. O passo em que dividimos por 1+y está justificado porque, na solução final, 1+y=e^{t^2}>0 sempre, então não houve problema com divisão por zero. Também, por teoremas básicos de existência e unicidade para equações diferenciais ordinárias com o lado direito contínuo em t e Lipschitz em y, essa solução é única no entorno de t=0.

Resposta

y(t)=e^{t^{2}}-1

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