Exemplo 1
Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial: a equação diferencial e a condição inicial são
O que se pede é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial para
em algum intervalo contendo
e que também verifica a condição
. Vou usar o enunciado inteiro: a equação diferencial e o valor inicial.
Passo 2
Vamos manipular a equação para separar as variáveis
e
. A equação está escrita como derivada de
em relação a
igual a uma expressão que é produto de uma função de
por uma função de
. Podemos reescrever
Dividindo ambos os lados por
(assumindo momentaneamente
) e multiplicando por
, obtemos a forma separada
Aqui a ideia é que o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
, o que nos permite integrar cada lado em relação à sua variável.
Passo 3
Agora integramos ambos os lados (integrais indefinidas). Lembre que a integral de
em
é
e a integral de
em
é
. Então
leva a
onde
é a constante de integração (um número real desconhecido que vamos determinar usando a condição inicial). Uma palavra rápida sobre
: o logaritmo natural só recebe argumentos positivos, por isso aparece o valor absoluto; mais adiante a condição inicial vai fixar o sinal.
Passo 4
A partir de
aplicamos exponencial para isolar
. Temos
Escrevendo
obtemos
Isso significa
, mas é comum absorver o sinal no constante e escrever simplesmente
onde
é uma constante real não nula (pode ser positiva ou negativa). Agora usamos a condição inicial para encontrar
.
Passo 5
Aplicando
na fórmula
com
:
Portanto a constante vale
e a solução explícita fica
Passo 6
Fazer uma verificação rápida é sempre bom na prova. Calculando a derivada da solução encontrada:
E avaliando o lado direito da equação original com essa
:
Como as duas expressões coincidem, a função encontrada satisfaz a equação diferencial. Além disso
, logo satisfaz a condição inicial.
Passo 7
Comentário final curto sobre domínio e existência: a solução
é bem definida para todo
. O passo em que dividimos por
está justificado porque, na solução final,
sempre, então não houve problema com divisão por zero. Também, por teoremas básicos de existência e unicidade para equações diferenciais ordinárias com o lado direito contínuo em
e Lipschitz em
, essa solução é única no entorno de
.