Existem 4 reis num baralho de 52 cartas. Extrai-se uma carta do baralho, registra-se o seu valor e a seguir repõe-se a carta extraída. Este procedimento é repetido 4 vezes. Determine a probabilidade de que existam exatamente 2 reis entre as cartas selecionadas, sabendo-se que entre elas existe pelo menos um rei. Descreva os eventos envolvidos e use a teoria para resolvê-la.

Passo 1

O enunciado descreve um experimento de 4 extrações com reposição de um baralho de 52 cartas, onde há 4 reis. Cada extração é independente e a probabilidade de tirar um rei em cada vez é
p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}.
Queremos a probabilidade de ocorrer exatamente 2 reis em 4 tiragens, sabendo-se que ocorreu pelo menos 1 rei. Isso envolve probabilidade condicional.

Passo 2

Definimos os seguintes eventos:
A = “ocorrer exatamente 2 reis em 4 extrações”
B = “ocorrer pelo menos 1 rei em 4 extrações”
O que buscamos é
P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.
Como A\subseteq B (se há exatamente 2 reis então certamente há pelo menos 1), temos P(A\cap B)=P(A). Logo
P(A\mid B)=\frac{P(A)}{P(B)}.

Passo 3

Calculamos P(A) usando a distribuição binomial, pois cada extração é independente e há dois resultados de interesse (“rei” ou “não rei”):
P(A)=\binom{4}{2}\,p^2\,(1-p)^2.
Aqui p=\tfrac{1}{13} e 1-p=\tfrac{12}{13}. Substituindo,
P(A)=\binom{4}{2}\Bigl(\tfrac{1}{13}\Bigr)^2\Bigl(\tfrac{12}{13}\Bigr)^2 =6\cdot\frac{1}{169}\cdot\frac{144}{169} =\frac{864}{28561}.

Passo 4

Agora calculamos
P(B)=1 - P(\text{nenhum rei}) =1 - (1-p)^4 =1 - \Bigl(\tfrac{12}{13}\Bigr)^4.
Como \bigl(\tfrac{12}{13}\bigr)^4=\tfrac{20736}{28561}, tem-se
P(B)=1 - \frac{20736}{28561} =\frac{7825}{28561}.

Passo 5

Finalmente, a probabilidade condicional é
P(A\mid B) =\frac{P(A)}{P(B)} =\frac{\tfrac{864}{28561}}{\tfrac{7825}{28561}} =\frac{864}{7825}\approx0,1104.

Resposta

P(\text{exatamente 2 reis}\mid \text{pelo menos 1 rei}) =\frac{864}{7825}\approx0{,}1104.

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