Suponha que A, B e C são eventos mutuamente independentes e P(A \cap B) \neq 0. Mostre que P(C \mid A \cap B)=P\text{(C)}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sob a hipótese de eventos A, B e C serem mutuamente independentes e P(A\cap B)\neq0, vale
P\bigl(C\mid A\cap B\bigr)=P\text{(C)}.
Aqui vamos usar os conceitos de probabilidade condicional e de independência mútua.

Passo 2

Pela definição de probabilidade condicional, temos
P\bigl(C\mid A\cap B\bigr) =\frac{P\bigl((A\cap B)\cap C\bigr)}{P(A\cap B)}.

Passo 3

Como A, B e C são mutuamente independentes, toda interseção de três deles fatora em produto de probabilidades:
P\bigl(A\cap B\cap C\bigr) =P(A)\,P(B)\,P\text{(C)}.

Passo 4

Substituindo essa fatoração em P\bigl(C\mid A\cap B\bigr) e usando também que P(A\cap B)=P(A)\,P(B), obtemos
P\bigl(C\mid A\cap B\bigr) =\frac{P(A)\,P(B)\,P\text{(C)}}{P(A)\,P(B)} =P\text{(C)}.

Resposta

P(C\mid A\cap B)=P\text{(C)}.

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