A loja de câmeras de Dave apresenta o seguinte problema de estoque. A loja estoca determinado modelo de câmera que pode ser encomendado semanalmente. Façamos que D1,D2,… representem a demanda por essa câmera (o número de unidades que seriam vendidas, caso o estoque não estivesse esgotado) durante a primeira semana, a segunda semana, … , respectivamente, de modo que a variável aleatória Dt (para \mathrm{t}=1,2, \ldots ) seja número de câmeras que seriam vendidas na semana t, caso o estoque não estivesse esgotado. Esse número inclui vendas perdidas quando o estoque estiver esgotado.
Supõe-se que os Dt sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com uma distribuição de Poisson com média igual a 1 ( \lambda=1 ). Façamos que X 0 represente o número de câmeras disponíveis no princípio, X 1 o número de câmeras disponíveis no final da semana 1, X2 o número de câmeras disponíveis no final da semana 2, e assim por diante, de modo que a variável aleatória \mathrm{X}_{\mathrm{t}} (para \mathrm{t}=0,1,2, \ldots ) seja o número de câmeras disponíveis no final da semana \mathbf{t}.
Suponha que \mathrm{X}_{0}=3, de modo que a semana 1 comece com três câmeras disponíveis. \left\{X_{t}\right\}=\left\{X_{0}, X_{1}, X_{2}, \ldots\right\} é um processo estocástico no qual a variável aleatória \mathrm{X}_{1} representa o estado do sistema no instante t, isto é, Estado no instante \mathbf{t}= número de câmeras disponíveis no final da semana \mathbf{t}.
Como dono da loja, Dave gostaria de saber mais sobre como o estado desse processo estocástico evolui ao longo do tempo usando a política de encomenda atual descrita a seguir:.
No final de cada semana t (sábado à noite), a loja faz um pedido que é entregue a tempo quando da próxima abertura da loja na segunda-feira. A loja usa a seguinte política de encomendas:
Se \mathrm{Xt}_{\mathrm{t}}=0, encomendar 3 câmeras.
Se X_{t}>0, não encomendar nenhuma câmera.
Portanto, o nível de estoque flutua entre um mínimo de nenhuma câmera e um máximo de três câmeras, de modo que os estados possíveis do sistema no instante t (o final de semana t ) sejam os Estados possíveis =0,1,2 ou 3 câmeras disponíveis.
Já que cada variável aleatória \mathrm{Xt}_{\mathrm{t}}(\mathrm{t}=0,1,2, \ldots) representa o estado do sistema no final da semana t, seus únicos valores possíveis são 0,1,2 ou 3 . As variáveis
aleatórias \mathrm{X}_{\mathrm{t}} são dependentes e poderiam ser avaliadas iterativamente pela expressão. \mathrm{X}_{\mathrm{t}+1}=\left\{\operatorname{máx}\left(3-\mathrm{Dt}_{\mathrm{t}+1,0}\right)\right., se \mathrm{Xt}_{\mathrm{t}}=0 \operatorname{máx}\left(\mathrm{X}_{\mathrm{t}}-\mathrm{Dt}_{\mathrm{t}+1,0}\right), se \mathrm{X}_{\mathrm{t}} \geq 0
para \mathrm{t}=0,1,2, \ldots
Dado o estado atual ser \mathrm{X}_{1}=\mathrm{i}, sabemos (propriedade markoviana) que X_{t+1} depende apenas de D_{t+1}(a demanda na semana t+1) e X_{t}.
Já que \mathrm{X}_{\mathrm{t}+1} é independente de qualquer histórico passado do sistema de estoques anterior ao instante $t$, o processo estocástico \{\mathrm{Xt}\}(\mathrm{t}=0,1, \ldots) possui a propriedade markoviana e, portanto, ele é uma cadeia de Markov.
Considere, agora, como obter as probabilidades de transição em uma etapa, isto é, os elementos da matriz de transição (em uma etapa), dado que \mathrm{D}_{\mathrm{t}+1} tenha uma distribuição de Poisson com média igual a 1(\lambda=1).
a. Complete a matriz de transição:
(b) Encontre as probabilidades de estado estável do estado da cadeia de
Markov. {obs: caso não exista preencha com valores 0}
Passo 1
O enunciado descreve um modelo de estoque onde o nível no fim da semana t é X_t\in\{0,1,2,3\}. A cada sábado, se X_t=0 chega um pedido que repõe o estoque a 3 unidades; se X_t>0, não chega nada. A demanda semanal D_{t+1} é \operatorname{Poisson}(1) e as vendas são perdidas quando o estoque acaba. Logo \{X_t\} é uma cadeia de Markov de estados \{0,1,2,3\} e queremos (a) a matriz de uma etapa P=(p_{ij}) e (b) a distribuição estacionária \pi tal que \pi=\pi P, \sum\pi_i=1.
Passo 2
Para cada estado atual i\) definimos o estoque de início da próxima semana:
\[S(i)=\begin{cases} 3,&i=0,\\\ i,&i=1,2,3. \end{cases}
Como X_{t+1}=\max\{S(i)-D,\;0\}\], temos para \(j>0
Substituindo S(i) e os termos de Poisson com \lambda=1, denotando a=e^{-1}, obtemos
P=(p_{ij})_{i,j=0}^3 = \begin{pmatrix} 1-\tfrac{5}{2}a & \tfrac{a}{2} & a & a\\\\ 1-a & a & 0 & 0\\\\ 1-2a & a & a & 0\\\\ 1-\tfrac{5}{2}a & \tfrac{a}{2} & a & a \end{pmatrix},
onde a primeira e a última linha são idênticas (pois S(0)=S(3)=3), a segunda linha corresponde a S(1)=1 e a terceira a S(2)=2.
Passo 4
Para a distribuição estacionária \pi=(\pi_0,\pi_1,\pi_2,\pi_3) resolvemos