Quais, se existir algum, dos seguintes campos de escoamento são irrotacionais?
u=x^{2} t+2 x y t ; v=-2 x y t-y^{2} t

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidades no plano com componentes:
u = x^{2}t + 2xyt, \qquad v = -2xyt - y^{2}t.
A pergunta implícita é: esse campo é irrotacional? Em outras palavras, queremos saber se a rotação (vorticidade) do campo é nula em todo o domínio e para todos os instantes t.

Passo 2

Relembrando a definição e a fórmula que vamos usar (aula rápida e direta):
  • Um escoamento é irrotacional se o vetor rotação (curl) do campo velocidade for o vetor nulo.
  • Para um campo bidimensional (u(x,y,t),v(x,y,t)) a componente não nula da rotação é a componente z dada por
\omega_z = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}.
Se \omega_z\equiv 0 em todo o domínio (para todos x,y,t) o escoamento é irrotacional. Aqui \partial v/\partial x significa derivada parcial de v em relação a x mantendo y,t fixos; idem para \partial u/\partial y.

Passo 3

Vou calcular as derivadas parciais pedidas, mostrando cada passo:
Escrevendo os componentes de forma factorizada para facilitar:
u = t\,(x^{2}+2xy), \qquad v = -t\,(2xy+y^{2}).
Agora a derivada parcial de v em relação a x:
\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big[-t(2xy+y^{2})\big] = -t\cdot\frac{\partial}{\partial x}(2xy+y^{2}).
Derivando 2xy+y^{2} em relação a x (tratando y,t como constantes):
\frac{\partial}{\partial x}(2xy+y^{2}) = 2y + 0 = 2y.
Portanto
\frac{\partial v}{\partial x} = -t\cdot 2y = -2yt.
Agora a derivada parcial de u em relação a y:
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big[t(x^{2}+2xy)\big] = t\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+2xy).
Derivando x^{2}+2xy em relação a y (tratando x,t constantes):
\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+2xy) = 0 + 2x = 2x.
Portanto
\frac{\partial u}{\partial y} = t\cdot 2x = 2xt.

Passo 4

Agora montamos a rotação (componente z):
\omega_z = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} = (-2yt) - (2xt) = -2t(y+x).
Ou, de forma equivalente,
\omega_z = -2t(x+y).

Passo 5

Interpretação do resultado:
  • Para que o escoamento seja irrotacional precisamos de \omega_z\equiv 0 para todo x,y,t.
  • Aqui \omega_z(x,y,t) = -2t(x+y) não é identicamente zero: depende de x,y,t. Portanto, em geral o campo NÃO é irrotacional.
  • Onde a vorticidade é zero? Solucionando -2t(x+y)=0 obtemos as condições:
    • t=0, que corresponde ao instante em que o campo é nulo (toda a velocidade é zero), ou
    • x+y=0, ou seja, sobre a reta no plano dada por x+y=0.
      Em qualquer outro ponto/instante a vorticidade é diferente de zero, logo há rotação local do fluido.

Passo 6

Comentário adicional (útil para prova): quando \omega_z\equiv 0 num domínio simplesmente conexo existe potencial escalar \varphi tal que u=\partial\varphi/\partial x,\; v=\partial\varphi/\partial y. Aqui isso só poderia ocorrer globalmente se \omega_z fosse zero para todos os pontos; como não é, não existe potencial global para todo o campo, apenas potenciais locais (por exemplo triviais quando t=0).

Resposta

O campo não é irrotacional em geral.
A vorticidade é \omega_z=-2t(x+y), que se anula apenas se t=0 ou se x+y=0.

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