Quais, se existir algum, dos seguintes campos de escoamento são irrotacionais?
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidades no plano com componentes:
A pergunta implícita é: esse campo é irrotacional? Em outras palavras, queremos saber se a rotação (vorticidade) do campo é nula em todo o domínio e para todos os instantes
.
Passo 2
Relembrando a definição e a fórmula que vamos usar (aula rápida e direta):
- Um escoamento é irrotacional se o vetor rotação (curl) do campo velocidade for o vetor nulo.
- Para um campo bidimensional
a componente não nula da rotação é a componente dada por
Se
em todo o domínio (para todos
) o escoamento é irrotacional. Aqui
significa derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixos; idem para
.
Passo 3
Vou calcular as derivadas parciais pedidas, mostrando cada passo:
Escrevendo os componentes de forma factorizada para facilitar:
Escrevendo os componentes de forma factorizada para facilitar:
Agora a derivada parcial de
em relação a
:
Derivando
em relação a
(tratando
como constantes):
Portanto
Agora a derivada parcial de
em relação a
:
Derivando
em relação a
(tratando
constantes):
Portanto
Passo 4
Agora montamos a rotação (componente
):
Ou, de forma equivalente,
Passo 5
Interpretação do resultado:
- Para que o escoamento seja irrotacional precisamos de
para todo . - Aqui
não é identicamente zero: depende de . Portanto, em geral o campo NÃO é irrotacional. - Onde a vorticidade é zero? Solucionando
obtemos as condições: -
, que corresponde ao instante em que o campo é nulo (toda a velocidade é zero), ou -
, ou seja, sobre a reta no plano dada por .
Em qualquer outro ponto/instante a vorticidade é diferente de zero, logo há rotação local do fluido.
-
Passo 6
Comentário adicional (útil para prova): quando
num domínio simplesmente conexo existe potencial escalar
tal que
. Aqui isso só poderia ocorrer globalmente se
fosse zero para todos os pontos; como não é, não existe potencial global para todo o campo, apenas potenciais locais (por exemplo triviais quando
).
Resposta
O campo não é irrotacional em geral.
A vorticidade é , que se anula apenas se
ou se
.
A vorticidade é