Table 1: Exercício 5, Aplicação Prática: Convecção e Condução em Para-brisa
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Dado Valor
Material Para-brisa de vidro
k 1,4 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}
Espessura 5 mm
Altura 0,5 \mathrm{~m}
Temperatura do ar interno 25^{\circ} \mathrm{C}
Temperatura do ar externo -20^{\circ} \mathrm{C}
Velocidade externa 80 \mathrm{~km} / \mathrm{h}
Temperatura requerida na face externa 0^{\circ} \mathrm{C}
Para descongelar um para-brisa de vidro, com condutividade térmica \mathrm{k}=1,4 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}, espessura de 5 mm e altura de 0,5 \mathrm{~m}, ar quente a 25{ }^{\circ} \mathrm{C} é soprado internamente. O ar externo está a -20{ }^{\circ} \mathrm{C}, com velocidade de 80 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Determine o valor do coeficiente de transferência de calor por convecção interno, h, necessário para que a face externa do vidro atinja 0^{\circ} \mathrm{C} e derreta o gelo.

Passo 1

O enunciado nos dá (peguei estes valores da tabela do enunciado):
  • Condutividade térmica do vidro: k=1,4\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
  • Espessura do vidro: L=5\\ \mathrm{mm}=0,005\\ \mathrm{m}.
  • Altura do para-brisa (comprimento característico): L_c=0,5\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura do ar interno (ar quente soprado): T_i=25^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar externo: T_\infty^{\,\mathrm{ext}}=-20^\circ\mathrm{C}.
  • Velocidade do vento externo: U_\infty=80\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}=22{,}22\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} (converti 80/3{,}6).
  • Temperatura requerida na face externa do vidro: T_{s,\mathrm{out}}=0^\circ\mathrm{C}.
O que é pedido:
  • Determinar o coeficiente de convecção interno h (ou h_i) necessário para que a face externa do vidro atinja 0^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Modelo físico e estratégia (explicando fórmula e variáveis, bem devagar):
  • Em regime estacionário e assumindo transferência unidimensional pela espessura do vidro, a mesma densidade de fluxo de calor por unidade de área q'' atravessa, em série, a convecção interna, a condução no vidro e a convecção externa.
  • Fórmulas básicas:
    • Convecção (local): q''=h\,(T_\infty-T_s), onde h é o coeficiente convectivo, T_\infty é a temperatura do fluido longe da superfície e T_s é a temperatura da superfície.
    • Condução através do vidro (lei de Fourier, direção normal): q''=\frac{k}{L}\,(T_{s,\mathrm{in}}-T_{s,\mathrm{out}}), onde T_{s,\mathrm{in}} é a temperatura da face interna do vidro e T_{s,\mathrm{out}} a da face externa.
  • Em série, a queda total de temperatura de T_i até T_\infty^{\,\mathrm{ext}} é distribuída entre as três resistências: q''=\frac{T_i-T_\infty^{\,\mathrm{ext}}}{\dfrac{1}{h_i}+\dfrac{L}{k}+\dfrac{1}{h_e}},onde h_i é o coeficiente interno (desconhecido que queremos) e h_e é o coeficiente externo (vai ser estimado a partir de U_\infty).
  • Estratégia prática para achar h_i:
    1. Estimar h_e (convecção externa) a partir do vento e propriedades do ar.
    2. Com h_e e sabendo que T_{s,\mathrm{out}}=0^\circ\mathrm{C}, calcular q''=h_e\,(T_{s,\mathrm{out}}-T_\infty^{\,\mathrm{ext}}).
    3. Calcular T_{s,\mathrm{in}} pela condução: T_{s,\mathrm{in}}=T_{s,\mathrm{out}}+{q''L}/{k}.
    4. Finalmente obter h_i de q''=h_i\,(T_i-T_{s,\mathrm{in}}), ou seja h_i=\frac{q''}{T_i-T_{s,\mathrm{in}}}.

Passo 3

Estimativa do coeficiente de convecção externo h_e (detalhando escolha de correlação e propriedades):
  • Primeiro escolho a temperatura de filme (média) para propriedades do ar: T_{\mathrm{f}}=\frac{T_{s,\mathrm{out}}+T_\infty^{\,\mathrm{ext}}}{2}=\frac{0+(-20)}{2}=-10^\circ\mathrm{C}.
  • Vou usar propriedades típicas do ar à temperatura de filme T_{\mathrm{f}}=-10^\circ\mathrm{C} (valores aproximados, razoáveis para cálculo de mão):
    • Condutividade térmica do ar: k_{\mathrm{air}}\approx 0,024\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
    • Número de Prandtl: \mathrm{Pr}\approx 0,71.
    • Visco-sidade cinemática: \nu\approx 1{,}3\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
      (Esses valores são aproximações típicas para ar em torno de 0 a -10 °C; estou um pouco incerto nos últimos dígitos, mas são adequados para estimativa engenharia.)
  • Calcula-se o número de Reynolds com comprimento característico L_c=0{,}5\\ \mathrm{m}: \mathrm{Re}_{L}=\frac{U_\infty L_c}{\nu}=\frac{22{,}22\times 0{,}5}{1{,}3\times 10^{-5}}\approx 8{,}54\times 10^{5}.
  • Decisão da correlação: como \mathrm{Re}_L é maior que 5\times 10^{5}, a camada de escoamento sobre a placa/para-brisa é majoritariamente turbulenta; uso a correlação de Nusselt média para escoamento forçado turbulento sobre placa: \mathrm{Nu}_L=0{,}037\,\mathrm{Re}_L^{4/5}\,\mathrm{Pr}^{1/3}.Aqui \mathrm{Nu}_L é o número de Nusselt médio sobre o comprimento L_c, e vale \mathrm{Nu}_L=h_e L_c/k_{\mathrm{air}}.
  • Calculo numérico (mostrando etapas): \mathrm{Re}_L^{4/5}\approx(8{,}54\times 10^{5})^{0{,}8}\approx 5{,}51\times 10^{4},
\mathrm{Pr}^{1/3}\approx 0{,}71^{1/3}\approx 0{,}89.
\mathrm{Nu}_L\approx 0{,}037\times 5{,}51\times 10^{4}\times 0{,}89 \approx 1{,}82\times 10^{3}.
  • Agora obtenho h_e: h_e=\frac{\mathrm{Nu}_L\,k_{\mathrm{air}}}{L_c}\approx\frac{1{,}82\times 10^{3}\times 0{,}024}{0{,}5}\approx 87\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.(Arredondei para duas cifras significativas; se usasse ligeira variação nas propriedades do ar, h_e fica na faixa \sim 80\text{–}90\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.)

Passo 4

Calcular o fluxo de calor por unidade de área q'' usando T_{s,\mathrm{out}}=0^\circ\mathrm{C}:
  • A convecção externa remove calor para o ar a -20^\circ\mathrm{C}, portanto q''=h_e\,(T_{s,\mathrm{out}}-T_\infty^{\,\mathrm{ext}})=h_e\,(0-(-20))=h_e\times 20.
  • Numérico com h_e\approx 87\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}: q''\approx 87\times 20=1{,}745\times 10^{3}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Passo 5

Calcular a temperatura da face interna do vidro T_{s,\mathrm{in}} (queda de temperatura por condução no vidro):
  • Pela condução no vidro: T_{s,\mathrm{in}}=T_{s,\mathrm{out}}+\frac{q''L}{k}.
  • Substituindo números ( L=0{,}005\\ \mathrm{m}, k=1{,}4\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}): T_{s,\mathrm{in}}=0+\frac{1{,}745\times 10^{3}\times 0{,}005}{1{,}4}\approx 6{,}23^\circ\mathrm{C}.Ou seja, a face interna do vidro teria cerca de 6{,}2^\circ\mathrm{C} com esse fluxo.

Passo 6

Calcular h_i necessário para suportar esse fluxo com o ar interno a 25^\circ\mathrm{C}:
  • Relação convectiva interna: q''=h_i\,(T_i-T_{s,\mathrm{in}}) \quad\Rightarrow\quad h_i=\frac{q''}{T_i-T_{s,\mathrm{in}}}.
  • Substituindo q''\approx 1{,}745\times 10^{3}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2, T_i=25^\circ\mathrm{C} e T_{s,\mathrm{in}}\approx 6{,}23^\circ\mathrm{C}: h_i\approx\frac{1{,}745\times 10^{3}}{25-6{,}23}=\frac{1{,}745\times 10^{3}}{18{,}77}\approx 93\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
  • Interpretação: para que a face externa esteja a 0^\circ\mathrm{C} (e, assim, derreta o gelo), o coeficiente convectivo interno precisaria ser aproximadamente 93\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}. Esse valor é alto, mas acontece quando o ar quente é soprado com velocidade elevada e diretamente sobre o vidro — é compatível com convecção forçada intensa em dutos/respiradores de ar (valores típicos de convecção forçada podem variar de algumas dezenas até algumas centenas de \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K} dependendo da configuração).

Resposta

h \approx 93\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}

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