13- Uma engenheira está projetando um sistema de aquecimento que consistirá de vários tubos colocados em um duto que carrega o fornecimento de ar para um edifício. Ela decide executar testes preliminares com um único tubo de cobre com diâmetro externo de 2 cm transportando vapor condensado a 100^{\circ} \mathrm{C}. A velocidade do ar no duto 3 é de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, e sua temperatura é 20^{\circ} \mathrm{C}. Se o comprimento do tubo é de 1 m , calcule a taxa de transferência de calor desde a sua superfície para o ar no entorno. Buscar propriedades nas tabelas de dados termofísicos. Como exercício, avaliem mais de uma correlação para os cálculos.
Resp.:
Usando correlação de Hilpert: \mathrm{q}=243,7 \mathrm{~W}
Usando correlação de Zukauskas: \mathrm{q}=288,2 \mathrm{~W}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados do enunciado:
    • Diâmetro externo do tubo: \,D=2{,}0\\ \text{cm}=0{,}02\\ \text{m}.
    • Comprimento do tubo: \,L=1{,}0\\ \text{m}.
    • Temperatura da superfície do tubo (vapor condensado): \,T_s=100^\circ\text{C}.
    • Temperatura do ar: \,T_\infty=20^\circ\text{C}.
    • Velocidade do ar: \,U_\infty=5{,}0\\ \text{m/s}.
    • Pedidos: calcular a taxa de transferência de calor desde a superfície do tubo para o ar ao redor, avaliando mais de uma correlação (aqui vamos usar a correlação de Hilpert e a de Zukauskas).
  • Observações importantes (que usei para organizar a resolução):
    • Para obter a taxa de calor convectivo precisamos do coeficiente convectivo h e então usar q=h A \Delta T, onde a área externa do cilindro é A=\pi D L e \Delta T=T_s-T_\infty.
    • As correlações exigem números adimensionais: número de Reynolds \mathrm{Re}_D e número de Prandtl \mathrm{Pr}. Para avaliar propriedades termofísicas (densidade, viscosidade, condutividade, etc.) é usual usar a temperatura de filme \,T_f=(T_s+T_\infty)/2.
    • Vou (a) estimar propriedades do ar na temperatura de filme; (b) calcular \mathrm{Re}_D e \mathrm{Pr}; (c) aplicar cada correlação para obter \mathrm{Nu}_D, então h e finalmente q.

Passo 2

Escolha da temperatura de referência e propriedades do ar (peguei estes valores em tabelas de propriedades do ar à pressão atmosférica, avaliadas em T_f).
  • Temperatura de filme:
    T_f=\frac{T_s+T_\infty}{2}=\frac{100+20}{2}=60^\circ\text{C}.
  • Propriedades do ar em T_f=60^\circ\text{C} (valores típicos de tabela; estou indicando os valores numéricos que usei):
    • Densidade: \rho=1{,}06\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Viscosidade dinâmica: \mu=1{,}96\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    • Condutividade térmica: k=0{,}0283\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • Número de Prandtl: \mathrm{Pr}=0{,}707.
(Observação: valores podem variar um pouco entre diferentes tabelas; pequenas diferenças nas propriedades produzem pequenas diferenças no resultado final. Aqui usei estes números consistentes com tabelas usuais para ar a 60°C.)

Passo 3

Calcular os números adimensionais básicos: \mathrm{Re}_D e checar \mathrm{Pr}.
  • Fórmulas e significado:
    • Número de Reynolds baseado no diâmetro: \mathrm{Re}_D=\frac{\rho\,U_\infty\,D}{\mu},onde \rho é a densidade do fluido, U_\infty a velocidade do fluxo livre, D o diâmetro característico e \mu a viscosidade dinâmica.
    • Número de Prandtl: \mathrm{Pr}=\frac{c_p\,\mu}{k},que mede a razão entre difusão de momento e difusão térmica (aqui tomei o valor de tabela \mathrm{Pr}=0{,}707).
  • Cálculo de \mathrm{Re}_D:
    \mathrm{Re}_D=\frac{1{,}06\cdot 5{,}0\cdot 0{,}02}{1{,}96\times10^{-5}} =\frac{0{,}106}{1{,}96\times10^{-5}} \approx 5{,}408\times10^{3}.
Portanto \mathrm{Re}_D\approx 5{,}41\times10^{3}, e \mathrm{Pr}=0{,}707.

Passo 4

Área e diferença de temperatura que serão usadas para calcular q.
  • Área lateral externa do cilindro:
    A=\pi D L=\pi\cdot 0{,}02\cdot 1{,}0=0{,}0628319\\ \mathrm{m^2}.
  • Diferença de temperatura:
    \Delta T = T_s-T_\infty = 100^\circ\text{C}-20^\circ\text{C}=80\\ \text{K}.

Passo 5

Correlação de Hilpert (explicação do método e aplicação passo a passo).
  • O que é a correlação de Hilpert: é uma forma empírica que dá o número de Nusselt para escoamento transversal sobre cilindros isolados:
    \mathrm{Nu}_D = C\,\mathrm{Re}_D^{\,m}\,\mathrm{Pr}^{1/3},
    onde C e m são constantes que dependem do intervalo de \mathrm{Re}_D. A potência \mathrm{Pr}^{1/3} é uma aproximação prática válida para uma faixa razoável de \mathrm{Pr}.
  • Escolha dos coeficientes (tabela de Hilpert, para o intervalo de Reynolds encontrado):
    • Para 4{,}0\times10^{3}<\mathrm{Re}_D<4{,}0\times10^{4} costuma-se usar C=0{,}193 e m=0{,}618.
    • Nosso \mathrm{Re}_D\approx5{,}41\times10^{3} está nesse intervalo, então usamos esses C,m.
  • Cálculos:
    • Primeiro calcule \mathrm{Pr}^{1/3}: \mathrm{Pr}^{1/3}=0{,}707^{1/3}\approx 0{,}8910.
    • Calcule \mathrm{Re}_D^{\,m}: \mathrm{Re}_D^{\,m}=(5{,}408\times10^{3})^{0{,}618}\approx 201{,}65.
    • Então \mathrm{Nu}_D = 0{,}193\times 201{,}65\times 0{,}8910 \approx 34{,}66.
    • Converta para coeficiente convectivo h usando \mathrm{Nu}_D=hD/k: h=\frac{\mathrm{Nu}_D\,k}{D}=\frac{34{,}66\cdot 0{,}0283}{0{,}02}\approx 49{,}06\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
    • Finalmente a taxa de calor: q=h\,A\,\Delta T =49{,}06\cdot 0{,}0628319\cdot 80 \approx 246{,}7\\ \mathrm{W}.
  • Interpretação: pela Hilpert obtemos aproximadamente q\approx 247\\ \mathrm{W}. Pequenas diferenças com outros valores publicados aparecem porque as propriedades de ar e as constantes empíricas podem variar ligeiramente conforme a fonte.

Passo 6

Correlação de Zukauskas (explicação e aplicação).
  • O que é a correlação de Zukauskas: é outra correlação empírica para escoamento transversal sobre cilindros (isolados ou em fileira), tipicamente escrita na forma
    \mathrm{Nu}_D = C\,\mathrm{Re}_D^{\,m}\,\mathrm{Pr}^{\,n},
    com expoentes e constantes que dependem do intervalo de \mathrm{Re}_D e do arranjo. Para cilindro isolado e intervalos usuais uma forma prática comum é usar C\approx 0{,}26, m\approx 0{,}6 e n\approx 0{,}37 (esta escolha é muito utilizada como aproximação prática; a formulação completa de Zukauskas contém fatores adicionais para arranjos de tubos mas para um tubo isolado essa forma dá bons resultados).
  • Cálculos (com C=0{,}26,\; m=0{,}6,\; n=0{,}37):
    • Calcule \mathrm{Re}_D^{\,m}: \mathrm{Re}_D^{\,0{,}6}=(5{,}408\times10^{3})^{0{,}6}\approx 173{,}8.
    • Calcule \mathrm{Pr}^{\,n}: \mathrm{Pr}^{\,0{,}37}=0{,}707^{0{,}37}\approx 0{,}8796.
    • Então \mathrm{Nu}_D = 0{,}26\times 173{,}8\times 0{,}8796 \approx 39{,}78.
    • Coeficiente h: h=\frac{\mathrm{Nu}_D\,k}{D}=\frac{39{,}78\cdot 0{,}0283}{0{,}02}\approx 56{,}30\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
    • Taxa de calor: q=h\,A\,\Delta T =56{,}30\cdot 0{,}0628319\cdot 80 \approx 282{,}9\\ \mathrm{W}.
  • Interpretação: a correlação de Zukauskas dá aqui aproximadamente q\approx 283\\ \mathrm{W}. Novamente, pequenos desvios entre diferentes publicações são esperáveis devido a diferenças nas constantes empíricas e nas propriedades termofísicas adotadas.

Passo 7

Comentários finais, comparação das duas estimativas e recomendações para prova.
  • Resultados obtidos:
    • Hilpert (constantes para 4{,}0\times10^3<\mathrm{Re}_D<4{,}0\times10^4): q\approx 247\\ \mathrm{W}.
    • Zukauskas (forma prática com C=0{,}26,\;m=0{,}6,\;n=0{,}37): q\approx 283\\ \mathrm{W}.
  • Por que há diferença entre as correlações?
    • Ambas são ajustadas a dados experimentais diferentes e a fórmulas empíricas; Zukauskas tende a dar valores um pouco maiores para este regime. Além disso, as propriedades do ar (especialmente k e \mu) e a escolha exata dos coeficientes C,m,n influenciam o resultado. Em prova: justificar a escolha da temperatura de filme e indicar a fonte/valor das propriedades que usou.
  • Dica prática para prova:
    • Sempre explique que avaliou a temperatura de filme T_f e liste explicitamente os valores de \rho,\mu,k,\mathrm{Pr} que você está usando (isso evita perder pontos).
    • Indique o intervalo de \mathrm{Re}_D e a tabela/linha de constantes C,m (ou da forma de Zukauskas) que está aplicando.
    • Mostre os cálculos de \mathrm{Re}_D\to\mathrm{Nu}_D\to h\to q passo a passo — exatamente como aqui — para facilitar conferência do examinador.

Resposta

Usando correlação de Hilpert: q\approx 246{,}7\\ \mathrm{W}
Usando correlação de Zukauskas: q\approx 282{,}9\\ \mathrm{W}

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