1{ }^{\text {a }} Questão - Julgue as afirmativas a seguir como verdadeira ou falsa. Em caso de falsa, justifique.
(a) Uma partícula estará em equilíbrio se estiver num local onde \frac{d U}{d x}=0. Aqui U é a energia potencial;
(b) Apenas forças conservativas podem realizar trabalho.
(c) Se uma partícula se move em trajetória circular, com velocidade constante, o trabalho total realizado sobre ela é necessariamente zero.

Passo 1

O enunciado pede que eu julgue como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das três afirmativas abaixo. Vou listar claramente cada afirmativa para não nos perdermos:
  • (a) Uma partícula estará em equilíbrio se estiver num local onde \dfrac{dU}{dx}=0. Aqui U é a energia potencial.
  • (b) Apenas forças conservativas podem realizar trabalho.
  • (c) Se uma partícula se move em trajetória circular, com velocidade constante, o trabalho total realizado sobre ela é necessariamente zero.
As informações dadas são exatamente essas três frases; não há outras hipóteses explícitas no enunciado (por exemplo, se existem ou não forças não-conservativas além daquelas derivadas de U). Vou analisar cada uma com calma e explicar os conceitos que entram em jogo.

Passo 2

Conceitos fundamentais que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Energia potencial U(x): é uma função definida quando as forças envolvidas são conservativas e só dependem da posição. Para uma força unidimensional conservativa podemos associar U(x) de modo que a força seja
F(x)= -\dfrac{dU}{dx},
onde F(x) é a componente da força ao longo do eixo x. Aqui eu explico o que cada símbolo significa: U(x) é a energia potencial na posição x; \dfrac{dU}{dx} é a derivada de U em relação a x; F(x) é a força (positiva no sentido crescente de x).
  • Equilíbrio mecânico: uma partícula está em equilíbrio estático (ou ponto de equilíbrio) quando a força resultante sobre ela é zero, isto é, F_{\text{res}}=0.
  • Trabalho de uma força: o trabalho realizado por uma força \vec F ao deslocar uma partícula ao longo de um caminho C é
W=\int_C \vec F\cdot d\vec s.
Se a força for conservativa, esse integral depende apenas dos pontos inicial e final; se for não-conservativa, o trabalho geralmente depende do caminho.
  • Teorema trabalho-energia: o trabalho total realizado por todas as forças sobre uma partícula é igual à variação de energia cinética:
W_{\text{tot}}=\Delta K = K_f-K_i,
onde K=\dfrac{1}{2}mv^2 é a energia cinética ( m massa, v velocidade).

Passo 3

Afirmativa (a): “Uma partícula estará em equilíbrio se estiver num local onde \dfrac{dU}{dx}=0.”
Raciocínio passo a passo:
  • Se as únicas forças que atuam sobre a partícula são conservativas descritas por U(x), então a força resultante é F(x) = -\dfrac{dU}{dx}.
  • O equilíbrio mecânico pede F_{\text{res}}=0. Substituindo, obtemos
F_{\text{res}}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac{dU}{dx}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{dU}{dx}=0.
  • Portanto, sob a hipótese de que U representa todas as forças (isto é, que as forças envolvidas são conservativas e incluídas em U), um ponto onde \dfrac{dU}{dx}=0 corresponde a um ponto de equilíbrio (pode ser estável, instável ou neutro — isso depende da segunda derivada \dfrac{d^2U}{dx^2}, mas a afirmativa não perguntou sobre estabilidade).
  • Observação importante (nuance que é boa saber na prova): se existem outras forças não-conservativas atuando (por exemplo, forças dependentes de velocidade, forças externas não incluídas em U), então \dfrac{dU}{dx}=0 não garante que a força resultante seja zero, porque U não representa essas forças. Assim a afirmação precisa do contexto “quando U descreve todas as forças conservativas atuantes”. O enunciado não explicitou isso, mas esse é o entendimento padrão em exercícios que usam U.
Conclusão sobre (a): considerando o uso habitual de U (energia potencial associada às forças conservativas que atuam), a afirmativa é verdadeira. Vou marcar como Verdadeira.

Passo 4

Afirmativa (b): “Apenas forças conservativas podem realizar trabalho.”
Raciocínio e explicação didática:
  • Definição de trabalho (repetindo com ênfase): o trabalho realizado por uma força \vec F ao longo de um deslocamento é W=\int \vec F\cdot d\vec s. Essa definição vale para qualquer força, conservativa ou não.
  • Uma força conservativa tem a propriedade adicional de que o trabalho entre dois pontos depende somente dos pontos inicial e final, e existe uma função U tal que W_{A\to B} = U(A)-U(B) = -\Delta U.
  • Muitas forças não-conservativas realizam trabalho: exemplo clássico é a força de atrito cinético \vec f_{\text{atrito}}. Se um bloco desliza sobre uma superfície, a força de atrito realiza trabalho negativo e dissipa energia mecânica em calor. Não há função U cuja diferença de valores recupere esse trabalho independentemente do caminho; o trabalho depende do comprimento do trajeto (logo, não é conservativo).
  • Outros exemplos: força de resistência do ar, força aplicada por uma pessoa empurrando um objeto ao longo de uma trajetória arbitrária — todas realizam trabalho (positivo ou negativo) e são, em geral, não-conservativas.
  • Portanto a frase “apenas forças conservativas podem realizar trabalho” é falsa: forças não-conservativas também realizam trabalho, às vezes justamente trocando energia mecânica por calor ou fazendo trabalho útil.
Conclusão sobre (b): falsa. Justificação: contraexemplo com força de atrito que realiza trabalho.

Passo 5

Afirmativa (c): “Se uma partícula se move em trajetória circular, com velocidade constante, o trabalho total realizado sobre ela é necessariamente zero.”
Raciocínio e explicação didática:
  • Se a velocidade tem módulo constante v= constante, então a energia cinética K=\dfrac{1}{2}mv^2 é constante, logo \Delta K=0.
  • Pelo teorema trabalho-energia,
W_{\text{tot}}=\Delta K=0.
Isso mostra que o trabalho total de todas as forças atuantes sobre a partícula é zero.
  • Intuição geométrica: na trajetória circular com velocidade constante existe uma força centrípeta \vec F_c apontando para o centro que garante a curvatura do caminho; essa força é sempre perpendicular à velocidade instantânea \vec v. O produto escalar \vec F_c\cdot \vec v =0, de modo que a contribuição instantânea de potência P=\vec F\cdot \vec v dessa força é zero, e a integral de trabalho ao longo do caminho também é zero.
  • Pode haver outras forças (por exemplo uma força tangencial e uma outra que compense), mas para que a velocidade permaneça constante a soma das componentes tangenciais deve ser zero, garantindo W_{\text{tot}}=0.
  • Observação: se a partícula estiver descrevendo um círculo com velocidade escalar constante, o trabalho total é necessariamente zero, independentemente de quais forças individuais atuem, desde que a velocidade não mude.
Conclusão sobre (c): verdadeira.

Passo 6

Resumo final em linguagem direta (pré-resposta): (a) Verdadeira, com a ressalva de que U deve representar as forças conservativas atuantes; (b) Falsa — forças não-conservativas (ex.: atrito) também realizam trabalho; (c) Verdadeira — velocidade constante implica \Delta K=0 logo trabalho total nulo.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira

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