Questão - Julgue as afirmativas a seguir como verdadeira ou falsa. Em caso de falsa, justifique.
(a) Uma partícula estará em equilíbrio se estiver num local onde
. Aqui U é a energia potencial;
(b) Apenas forças conservativas podem realizar trabalho.
(c) Se uma partícula se move em trajetória circular, com velocidade constante, o trabalho total realizado sobre ela é necessariamente zero.
(a) Uma partícula estará em equilíbrio se estiver num local onde
(b) Apenas forças conservativas podem realizar trabalho.
(c) Se uma partícula se move em trajetória circular, com velocidade constante, o trabalho total realizado sobre ela é necessariamente zero.
Passo 1
O enunciado pede que eu julgue como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das três afirmativas abaixo. Vou listar claramente cada afirmativa para não nos perdermos:
- (a) Uma partícula estará em equilíbrio se estiver num local onde
. Aqui é a energia potencial. - (b) Apenas forças conservativas podem realizar trabalho.
- (c) Se uma partícula se move em trajetória circular, com velocidade constante, o trabalho total realizado sobre ela é necessariamente zero.
As informações dadas são exatamente essas três frases; não há outras hipóteses explícitas no enunciado (por exemplo, se existem ou não forças não-conservativas além daquelas derivadas de
). Vou analisar cada uma com calma e explicar os conceitos que entram em jogo.
Passo 2
Conceitos fundamentais que vamos usar (aula rápida e prática):
- Energia potencial
: é uma função definida quando as forças envolvidas são conservativas e só dependem da posição. Para uma força unidimensional conservativa podemos associar de modo que a força seja
onde
é a componente da força ao longo do eixo
. Aqui eu explico o que cada símbolo significa:
é a energia potencial na posição
;
é a derivada de
em relação a
;
é a força (positiva no sentido crescente de
).
- Equilíbrio mecânico: uma partícula está em equilíbrio estático (ou ponto de equilíbrio) quando a força resultante sobre ela é zero, isto é,
. - Trabalho de uma força: o trabalho realizado por uma força
ao deslocar uma partícula ao longo de um caminho é
Se a força for conservativa, esse integral depende apenas dos pontos inicial e final; se for não-conservativa, o trabalho geralmente depende do caminho.
- Teorema trabalho-energia: o trabalho total realizado por todas as forças sobre uma partícula é igual à variação de energia cinética:
onde
é a energia cinética (
massa,
velocidade).
Passo 3
Afirmativa (a): “Uma partícula estará em equilíbrio se estiver num local onde
.”
Raciocínio passo a passo:
- Se as únicas forças que atuam sobre a partícula são conservativas descritas por
, então a força resultante é . - O equilíbrio mecânico pede
. Substituindo, obtemos
- Portanto, sob a hipótese de que
representa todas as forças (isto é, que as forças envolvidas são conservativas e incluídas em ), um ponto onde corresponde a um ponto de equilíbrio (pode ser estável, instável ou neutro — isso depende da segunda derivada , mas a afirmativa não perguntou sobre estabilidade). - Observação importante (nuance que é boa saber na prova): se existem outras forças não-conservativas atuando (por exemplo, forças dependentes de velocidade, forças externas não incluídas em
), então não garante que a força resultante seja zero, porque não representa essas forças. Assim a afirmação precisa do contexto “quando descreve todas as forças conservativas atuantes”. O enunciado não explicitou isso, mas esse é o entendimento padrão em exercícios que usam .
Conclusão sobre (a): considerando o uso habitual de
(energia potencial associada às forças conservativas que atuam), a afirmativa é verdadeira. Vou marcar como Verdadeira.
Passo 4
Afirmativa (b): “Apenas forças conservativas podem realizar trabalho.”
Raciocínio e explicação didática:
- Definição de trabalho (repetindo com ênfase): o trabalho realizado por uma força
ao longo de um deslocamento é . Essa definição vale para qualquer força, conservativa ou não. - Uma força conservativa tem a propriedade adicional de que o trabalho entre dois pontos depende somente dos pontos inicial e final, e existe uma função
tal que . - Muitas forças não-conservativas realizam trabalho: exemplo clássico é a força de atrito cinético
. Se um bloco desliza sobre uma superfície, a força de atrito realiza trabalho negativo e dissipa energia mecânica em calor. Não há função cuja diferença de valores recupere esse trabalho independentemente do caminho; o trabalho depende do comprimento do trajeto (logo, não é conservativo). - Outros exemplos: força de resistência do ar, força aplicada por uma pessoa empurrando um objeto ao longo de uma trajetória arbitrária — todas realizam trabalho (positivo ou negativo) e são, em geral, não-conservativas.
- Portanto a frase “apenas forças conservativas podem realizar trabalho” é falsa: forças não-conservativas também realizam trabalho, às vezes justamente trocando energia mecânica por calor ou fazendo trabalho útil.
Conclusão sobre (b): falsa. Justificação: contraexemplo com força de atrito que realiza trabalho.
Passo 5
Afirmativa (c): “Se uma partícula se move em trajetória circular, com velocidade constante, o trabalho total realizado sobre ela é necessariamente zero.”
Raciocínio e explicação didática:
- Se a velocidade tem módulo constante
constante, então a energia cinética é constante, logo . - Pelo teorema trabalho-energia,
Isso mostra que o trabalho total de todas as forças atuantes sobre a partícula é zero.
- Intuição geométrica: na trajetória circular com velocidade constante existe uma força centrípeta
apontando para o centro que garante a curvatura do caminho; essa força é sempre perpendicular à velocidade instantânea . O produto escalar , de modo que a contribuição instantânea de potência dessa força é zero, e a integral de trabalho ao longo do caminho também é zero. - Pode haver outras forças (por exemplo uma força tangencial e uma outra que compense), mas para que a velocidade permaneça constante a soma das componentes tangenciais deve ser zero, garantindo
. - Observação: se a partícula estiver descrevendo um círculo com velocidade escalar constante, o trabalho total é necessariamente zero, independentemente de quais forças individuais atuem, desde que a velocidade não mude.
Conclusão sobre (c): verdadeira.
Passo 6
Resumo final em linguagem direta (pré-resposta): (a) Verdadeira, com a ressalva de que
deve representar as forças conservativas atuantes; (b) Falsa — forças não-conservativas (ex.: atrito) também realizam trabalho; (c) Verdadeira — velocidade constante implica
logo trabalho total nulo.
Resposta
(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira