Expanda as expressões abaixo.
\left(3-\frac{5}{x}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para expandir a expressão \left(3-\frac{5}{x}\right)^{2}.
Informações relevantes que temos:
  • A expressão é um quadrado de uma soma/diferença: algo do tipo (\text{algo})^{2}.
  • A variável é x e aparece no denominador, portanto devemos assumir \,x \neq 0, para que a expressão faça sentido.

Passo 2

Vamos usar uma identidade algébrica fundamental que simplifica muito este trabalho. Para quaisquer expressões a e b vale:
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.
Explicando: (a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a(a-b)-b(a-b)=a^{2}-ab-ab+b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.
Aqui a e b representam qualquer número ou expressão; no exame, reconhecer essa identidade economiza tempo.

Passo 3

Identificamos na nossa expressão:
a=3,\qquad b=\frac{5}{x}.
Relembrando: \,x\neq0.

Passo 4

Calcule a^{2}:
a^{2}=3^{2}=9.

Passo 5

Calcule -2ab passo a passo:
-2ab = -2\cdot 3 \cdot \frac{5}{x} = -6\cdot\frac{5}{x} = -\frac{30}{x}.
Aqui multiplicou-se os números no numerador e manteve-se o x no denominador.

Passo 6

Calcule b^{2}:
b^{2}=\left(\frac{5}{x}\right)^{2}=\frac{5^{2}}{x^{2}}=\frac{25}{x^{2}}.
Ao elevar uma fração ao quadrado, eleva-se numerador e denominador separadamente.

Passo 7

Agora juntamos os três termos da identidade:
\left(3-\frac{5}{x}\right)^{2}=9-\frac{30}{x}+\frac{25}{x^{2}}.
Se preferir escrever como uma única fração com denominador comum x^{2}:
\left(3-\frac{5}{x}\right)^{2}=\frac{9x^{2}-30x+25}{x^{2}}.

Resposta

9-\frac{30}{x}+\frac{25}{x^{2}}

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