Expanda as expressões abaixo.
\left(2 x-\frac{1}{x}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para expandir a expressão \left(2x-\dfrac{1}{x}\right)^{2}.
Informações dadas:
  • A expressão a ser trabalhada é \left(2x-\dfrac{1}{x}\right)^{2}.
  • Deve-se escrever essa potência de binômio como uma soma de termos (ou seja, expandir).

Passo 2

Vamos lembrar uma identidade muito útil e que usamos sempre nesses casos: para quaisquer números (ou expressões) a e b vale
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.
Aqui:
  • a^{2} significa multiplicar a por a.
  • -2ab significa -2 vezes a vezes b.
  • b^{2} significa multiplicar b por b.

Passo 3

Identifique as partes do nosso binômio comparando com a-b. Tomamos
a=2x,\qquad b=\frac{1}{x}.
Agora calculamos cada termo da identidade separadamente.

Passo 4

Calcular a^{2}:
a^{2}=(2x)^{2}=2^{2}\cdot x^{2}=4x^{2}.
Aqui usei a regra (\alpha\beta)^{2}=\alpha^{2}\beta^{2}.

Passo 5

Calcular -2ab:
-2ab=-2\cdot(2x)\cdot\frac{1}{x}=-4\cdot\frac{x}{x}=-4.
Observe que x no numerador e x no denominador se cancelam (desde que x\neq0), dando -4.

Passo 6

Calcular b^{2}:
b^{2}=\left(\frac{1}{x}\right)^{2}=\frac{1}{x^{2}}.
A potência de uma fração aplica o quadrado tanto ao numerador quanto ao denominador.

Passo 7

Agora somamos os três termos obtidos na identidade:
\left(2x-\frac{1}{x}\right)^{2}=4x^{2}-4+\frac{1}{x^{2}}.
Não é possível simplificar mais (os termos têm potências diferentes de x). Lembre que isso vale para x\neq0.

Passo 8

Verificação numérica rápida (para ganhar confiança): seja x=2. Então
\text{original: }\left(2\cdot2-\frac{1}{2}\right)^{2}=\left(4-\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\left(\tfrac{7}{2}\right)^{2}=\tfrac{49}{4}=12{,}25,
\text{expandido: }4(2)^{2}-4+\frac{1}{(2)^{2}}=16-4+\tfrac{1}{4}=12+\tfrac{1}{4}=\tfrac{49}{4}=12{,}25.
Confere!

Resposta

4x^{2}-4+\dfrac{1}{x^{2}}

Exercícios relacionados