Expanda as expressões abaixo.
\left(x^{2}-\sqrt{5}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a expressão \left(x^{2}-\sqrt{5}\right)^{2} e pede para expandi-la, ou seja, escrever o resultado da multiplicação desenvolvida sem o expoente quadrado externo.

Passo 2

Usamos a identidade algébrica para o quadrado da diferença entre dois termos:
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.
Explicando: aqui a e b são quaisquer expressões. O termo a^{2} é o quadrado do primeiro termo, o termo -2ab é menos duas vezes o produto entre os termos, e b^{2} é o quadrado do segundo termo. Essa fórmula vem de multiplicar (a-b)(a-b) e somar os termos semelhantes.

Passo 3

Identificamos os termos na nossa expressão:
a = x^{2},\qquad b = \sqrt{5}.
Ou seja, estamos aplicando a fórmula com a sendo x^{2} e b sendo \sqrt{5}.

Passo 4

Calculamos cada parcela da fórmula:
a^{2}=(x^{2})^{2}=x^{4},
-2ab=-2\cdot x^{2}\cdot \sqrt{5}=-2\sqrt{5}\,x^{2},
b^{2}=(\sqrt{5})^{2}=5.
Observações rápidas: ao elevar um produto ao quadrado, cada fator é elevado ao quadrado; e (\sqrt{5})^{2}=5 porque a raiz quadrada e o quadrado são operações inversas (para o número positivo 5).

Passo 5

Juntando as parcelas obtemos a expansão completa:
\left(x^{2}-\sqrt{5}\right)^{2}=x^{4}-2\sqrt{5}\,x^{2}+5.
Como checagem simples, se x=1 então o lado esquerdo vale (1-\sqrt{5})^{2}=6-2\sqrt{5}, e o lado direito com x=1 também dá 1^{4}-2\sqrt{5}\cdot1^{2}+5=6-2\sqrt{5}, ou seja, bate.

Resposta

\,x^{4}-2\sqrt{5}\,x^{2}+5\,

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