1. O número áureo é uma constante real irracional, definida como a raiz positiva da equação quadrática obtida a partir de
\frac{x+1}{x}=x .
Reescreva a equação acima como uma equação quadrática e determine o número áureo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas. O enunciado dá a relação
\frac{x+1}{x}=x
e pede duas coisas:
  • Reescrever essa relação como uma equação quadrática.
  • Determinar o número áureo, isto é, a raiz positiva dessa equação.
Informações relevantes que temos:
  • A expressão \dfrac{x+1}{x} exige x \neq 0 (não se pode dividir por zero).
  • Precisamos transformar a igualdade em uma equação polinomial (grau 2) e resolver para x.
  • Ao final, escolheremos a raiz positiva (essa é a definição dada do número áureo).

Passo 2

Primeiro passo algébrico: eliminar o denominador multiplicando ambos os lados por x. Antes disso, reforço: isto só é válido para x\neq 0, e já observamos que x\neq 0 é exigido pela expressão original.
Multiplicando ambos os lados por x obtemos
x+1 = x^2.
Agora colocamos todos os termos do mesmo lado para obter uma equação do tipo “coisa igual a zero”. Subtraindo x+1 de ambos os lados:
x^2 - x - 1 = 0.
Pronto: essa é a equação quadrática pedida.

Passo 3

Explico rapidamente o que é uma equação quadrática e como resolvê-la: uma equação quadrática tem a forma geral
a x^2 + b x + c = 0,
onde a, b e c são números (com a\neq 0). As soluções dessa equação são dadas pela fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
Aqui b^2-4ac chama-se discriminante; ele indica se as raízes são reais ( \ge 0) ou complexas ( <0).
No nosso caso a equação é x^2 - x - 1 = 0, portanto
a = 1,\qquad b = -1,\qquad c = -1.

Passo 4

Calculo o discriminante:
\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5.
Como \Delta = 5>0, há duas raízes reais distintas. Aplicando a fórmula:
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{5}}{2\cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.
Portanto as duas raízes são \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} e \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}.

Passo 5

Agora escolhemos a raiz positiva como número áureo. Observe numericamente:
\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx\frac{1+2{,}236\ldots}{2}\approx1{,}618\ldots
e
\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx\frac{1-2{,}236\ldots}{2}\approx-0{,}618\ldots.
A definição pede a raiz positiva, então o número áureo é
\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}6180339\ldots
Uma observação didática curta: da equação original \dfrac{x+1}{x}=x segue 1+\dfrac{1}{x}=x, então \varphi satisfaz a identidade curiosa
\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi},
o que é uma forma elegante de entender por que \varphi aparece frequentemente em continuações de frações e na relação entre termos da sequência de Fibonacci.

Resposta

x^2 - x - 1 = 0
\varphi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}6180339\ldots

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