- O número áureo é uma constante real irracional, definida como a raiz positiva da equação quadrática obtida a partir de
Reescreva a equação acima como uma equação quadrática e determine o número áureo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas. O enunciado dá a relação
e pede duas coisas:
- Reescrever essa relação como uma equação quadrática.
- Determinar o número áureo, isto é, a raiz positiva dessa equação.
Informações relevantes que temos:
- A expressão
exige (não se pode dividir por zero). - Precisamos transformar a igualdade em uma equação polinomial (grau 2) e resolver para
. - Ao final, escolheremos a raiz positiva (essa é a definição dada do número áureo).
Passo 2
Primeiro passo algébrico: eliminar o denominador multiplicando ambos os lados por
. Antes disso, reforço: isto só é válido para
, e já observamos que
é exigido pela expressão original.
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agora colocamos todos os termos do mesmo lado para obter uma equação do tipo “coisa igual a zero”. Subtraindo
de ambos os lados:
Pronto: essa é a equação quadrática pedida.
Passo 3
Explico rapidamente o que é uma equação quadrática e como resolvê-la: uma equação quadrática tem a forma geral
onde
,
e
são números (com
). As soluções dessa equação são dadas pela fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
Aqui
chama-se discriminante; ele indica se as raízes são reais (
) ou complexas (
).
No nosso caso a equação é
, portanto
Passo 4
Calculo o discriminante:
Como
, há duas raízes reais distintas. Aplicando a fórmula:
Portanto as duas raízes são
e
.
Passo 5
Agora escolhemos a raiz positiva como número áureo. Observe numericamente:
e
A definição pede a raiz positiva, então o número áureo é
Uma observação didática curta: da equação original
segue
, então
satisfaz a identidade curiosa
o que é uma forma elegante de entender por que
aparece frequentemente em continuações de frações e na relação entre termos da sequência de Fibonacci.