Expanda a função em uma série apropriada de cossenos ou de senos:
f(x)=\left\{\begin{array}{rc}1, & -2<x<-1 \\\\ -x, & -1 \leq x<0 \\\ x, & 0 \leq x<1 \\\\ 1, & 1 \leq x<2\end{array} \quad\right.

Passo 1

O enunciado define
f(x)= \begin{cases} 1, & -2<x<-1,\\\\ -x, & -1\le x<0,\\\ x, & 0\le x<1,\\\\ 1, & 1\le x<2 \end{cases}
e pede expansão em série apropriada de cossenos ou senos. Como o período natural de f é 4 e f é par ( f(-x)=f(x)), vamos usar série de cossenos no intervalo [-2,2] com L=2.

Passo 2

Para função par de período 2L=4 usamos a forma
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\!\biggl(\frac{n\pi x}{L}\biggr)
com
a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx =\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx.
Aqui L=2, logo
a_n=\int_{0}^{2}f(x)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx.

Passo 3

Calculemos primeiro a_0:
a_0=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,dx =\int_{0}^{2}f(x)\,dx =\int_{0}^{1}x\,dx+\int_{1}^{2}1\,dx =\frac12+1=\frac32.
Portanto \tfrac{a_0}{2}=\tfrac{3}{4}.

Passo 4

Para n\ge1 escrevemos
a_n =\int_{0}^{2}f(x)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx =\int_{0}^{1}x\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx +\int_{1}^{2}1\cdot\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx =I_1+I_2.

Passo 5

Calcule I_1=\int_{0}^{1}x\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx por partes com u=x, dv=\cos(\tfrac{n\pi x}{2})dx. Obtemos
I_1 =\frac{2}{n\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr) +\frac{4}{n^2\pi^2}\Bigl(\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)-1\Bigr).

Passo 6

Calcule I_2=\int_{1}^{2}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx.
I_2 =\Bigl[\tfrac{2}{n\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\Bigr]_{1}^{2} =\frac{2}{n\pi}\bigl(\sin(n\pi)-\sin\!\tfrac{n\pi}{2}\bigr) =-\frac{2}{n\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr).

Passo 7

Somando I_1+I_2 cancela o termo em \sin(\tfrac{n\pi}{2}) e fica
a_n =\frac{4}{n^2\pi^2}\Bigl(\cos\!\tfrac{n\pi}{2}-1\Bigr).

Passo 8

Logo a série de cossenos de f é
\boxed{ f(x) =\frac{3}{4} +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^2\pi^2}\Bigl(\cos\!\tfrac{n\pi}{2}-1\Bigr) \cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\Bigr). }

Resposta

f(x) =\frac{3}{4} +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^2\pi^2}\bigl(\cos\!\tfrac{n\pi}{2}-1\bigr) \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr).

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