Expanda a função em uma série apropriada de cossenos ou de senos:
f(x)=x \quad-\pi<x<\pi \quad

Passo 1

O enunciado pede expandir a função f(x)=x no intervalo -\pi<x<\pi em série de Fourier. Vamos usar a definição de série de Fourier em (-\,\pi,\pi) e notar que f é função ímpar, logo só surgirão termos de senos na expansão.

Passo 2

As fórmulas dos coeficientes da série de Fourier em (-\,\pi,\pi) são
a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,
a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,
b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 3

Como f(x)=x é ímpar, os produtos f(x)\cdot1 e f(x)\cos(nx) são funções ímpares em (-\,\pi,\pi). Portanto
a_0 = 0 \quad\text{e}\quad a_n = 0 \quad\forall n\ge1.

Passo 4

Para b_n, observamos que x\sin(nx) é par, então
b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx)\,dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx.
Fazendo integração por partes com u=x, dv=\sin(nx)\,dx ( du=dx, v=-\tfrac{1}{n}\cos(nx)), obtemos
\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx =\left.-\frac{x}{n}\cos(nx)\right|_{0}^{\pi} +\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx =-\frac{\pi}{n}(-1)^n.
Logo
b_n = \frac{2}{\pi}\Bigl(-\frac{\pi}{n}(-1)^n\Bigr) =2\,\frac{(-1)^{n+1}}{n}.

Passo 5

Reunindo tudo, a série de Fourier de f(x)=x em (-\,\pi,\pi) fica
f(x) =\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx) =2\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{\sin(nx)}{n}.

Resposta

f(x)=x = 2\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{\sin(nx)}{n}, \qquad -\pi<x<\pi.

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