Expanda a função em uma série apropriada de cossenos ou de senos:
f(x)=\left\{\begin{array}{lr}x-1, & -\pi<x<0 \\\ x+1, & 0 \leq x<\pi\end{array} \quad\right.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Fourier de
f(x)= \begin{cases} x-1, & -\pi < x < 0,\\\ x+1, & 0 \le x < \pi, \end{cases}
no intervalo -\pi\le x\le\pi. O conteúdo é série de Fourier e vamos precisar decidir se usamos termos de cosseno (função par), senos (função ímpar) ou ambos.

Passo 2

Verificamos a paridade de f. Para x>0 temos f(x)=x+1 e para -x<0
f(-x)=(-x)-1=-\bigl(x+1\bigr)=-f(x).
Logo f é função ímpar (descontando a descontinuidade em 0, cuja série aproximará pela média). Para função ímpar, só aparecem senos na expansão:
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx).
Os coeficientes são
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\sin(nx)\,dx.

Passo 3

Como f(x)\sin(nx) é par, usamos
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\,\sin(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}(x+1)\sin(nx)\,dx.
Separamos
\int_{0}^{\pi}(x+1)\sin(nx)\,dx =\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx +\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx.

Passo 4

Calculamos cada integral:
  1. \displaystyle \int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx.
    Use integração por partes com u=x, dv=\sin(nx)dx: \int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx =\Bigl[-\frac{x\cos(nx)}{n}\Bigr]_{0}^{\pi} +\int_{0}^{\pi}\frac{\cos(nx)}{n}\,dx =-\frac{\pi(-1)^n}{n} +\frac{\sin(nx)}{n^2}\Big|_{0}^{\pi} =-\frac{\pi(-1)^n}{n}.
  2. \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx =\Bigl[-\frac{\cos(nx)}{n}\Bigr]_{0}^{\pi} =\frac{1-(-1)^n}{n}.
Somando,
\int_{0}^{\pi}(x+1)\sin(nx)\,dx =-\frac{\pi(-1)^n}{n}+\frac{1-(-1)^n}{n} =\frac{-\pi(-1)^n+1-(-1)^n}{n}.
Portanto
b_n=\frac{2}{\pi}\,\frac{-\pi(-1)^n+1-(-1)^n}{n} =\frac{2}{\pi n}\bigl[(-1)^{n+1}(\pi+1)+1\bigr].

Passo 5

É comum separar os casos n par e n ímpar:
  • Se n=2k, (-1)^n=1, então b_{2k} =\frac{2}{\pi\,(2k)}\bigl[(-1)^{2k+1}(\pi+1)+1\bigr] =\frac{2}{2\pi k}\bigl[-(\pi+1)+1\bigr] =-\frac{2}{2k} =-\frac{1}{k}.
  • Se n=2k-1, (-1)^n=-1, então b_{2k-1} =\frac{2}{\pi\,(2k-1)}\bigl[(\pi+1)+1\bigr] =\frac{2(\pi+2)}{\pi(2k-1)}.
Assim a série fica
f(x) =\sum_{k=1}^{\infty}b_{2k-1}\sin\bigl((2k-1)x\bigr) +\sum_{k=1}^{\infty}b_{2k}\sin(2k x)
com
b_{2k-1}=\frac{2(\pi+2)}{\pi(2k-1)}, \qquad b_{2k}=-\frac{1}{k}.

Resposta

\boxed{ f(x) =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2(\pi+2)}{\pi(2k-1)}\, \sin\bigl((2k-1)x\bigr) \;-\;\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}\,\sin(2k x). }

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