Expanda a função em uma série apropriada de cossenos ou de senos: f(x)=\left\{\begin{array}{lr}x-1, & -\pi<x<0 \\\ x+1, & 0 \leq x<\pi\end{array} \quad\right.
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Fourier de
f(x)= \begin{cases} x-1, & -\pi < x < 0,\\\ x+1, & 0 \le x < \pi, \end{cases}
no intervalo -\pi\le x\le\pi. O conteúdo é série de Fourier e vamos precisar decidir se usamos termos de cosseno (função par), senos (função ímpar) ou ambos.
Passo 2
Verificamos a paridade de f. Para x>0 temos f(x)=x+1 e para -x<0
f(-x)=(-x)-1=-\bigl(x+1\bigr)=-f(x).
Logo f é função ímpar (descontando a descontinuidade em 0, cuja série aproximará pela média). Para função ímpar, só aparecem senos na expansão:
\displaystyle \int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx.
Use integração por partes com u=x, dv=\sin(nx)dx:\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx =\Bigl[-\frac{x\cos(nx)}{n}\Bigr]_{0}^{\pi} +\int_{0}^{\pi}\frac{\cos(nx)}{n}\,dx =-\frac{\pi(-1)^n}{n} +\frac{\sin(nx)}{n^2}\Big|_{0}^{\pi} =-\frac{\pi(-1)^n}{n}.