Expanda as potências abaixo utilizando as devidas propriedades (Ex.: x^{3+2}=x^{2} x^{2} )
e^{15 x}

Passo 1

O enunciado dá a expressão e^{15 x} e pede para expandi-la usando as propriedades de potências/exponenciais (transformar somas no expoente em produtos de exponenciais, escrever como potência de uma base já elevada, etc.).
Informação dada:
  • A expressão que vamos trabalhar é e^{15 x}.

Passo 2

Relembrando as propriedades que vamos usar (com explicação curta e clara):
  • Para quaisquer números a e b vale a regra da exponenciação sobre soma do expoente:
e^{a+b}=e^{a}\,e^{b}.
Isto significa que um exponencial com soma no expoente se transforma no produto de exponenciais.
  • Para um produto de um inteiro n por uma expressão a vale
e^{n a}=(e^{a})^{n}.
Isto vem de aplicar a propriedade anterior repetidas vezes: n a = a+a+\cdots+a (com n parcelas), e cada soma vira um produto.
  • Em geral, (e^{a})^{m}=e^{m a}. Aqui a é o expoente interno e m o expoente externo; o resultado multiplica os expoentes.
Explicando as variáveis: em e^{a}, a letra a é o expoente (pode depender de x); em e^{n a}, n é um número inteiro que multiplica a.
Exemplo simples (para fixar):
e^{2x}=(e^{x})^{2}=e^{x}\,e^{x}.
Aqui escrevemos 2x=x+x e aplicamos e^{a+b}=e^{a}e^{b}.

Passo 3

Aplicando essas propriedades a e^{15 x}.
Primeiro, escrevemos o produto repetido que está implícito no expoente:
15x = \underbrace{x+x+\cdots+x}_{15\text{ vezes}}.
Usando e^{a+b+\cdots}=e^{a}e^{b}\cdots obtemos:
e^{15x}=e^{\underbrace{x+x+\cdots+x}_{15\text{ vezes}}} = \underbrace{e^{x}\,e^{x}\,\cdots\,e^{x}}_{15\text{ vezes}}.
Também podemos usar a propriedade de potência de potência:
e^{15x}=(e^{x})^{15}.
São formas equivalentes e válidas para “expandir” e^{15x}. Outra forma útil de reescrever (opcional) é fatorar em blocos, por exemplo:
e^{15x}=(e^{3x})^{5}=(e^{5x})^{3}.
Todas essas identidades vêm da mesma regra (e^{a})^{m}=e^{m a}.

Passo 4

Para fixar com um exemplo numérico rápido (só para treinar a interpretação): se x=1 então
e^{15\cdot 1}=e^{15}=(e^{1})^{15}=\underbrace{e\cdot e\cdots e}_{15\text{ vezes}}.
Isso mostra concretamente como passar do expoente multiplicado para um produto de 15 fatores idênticos.

Resposta

(e^{x})^{15}=\underbrace{e^{x}e^{x}\cdots e^{x}}_{15\text{ vezes}}

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