Expanda as potências abaixo utilizando as devidas propriedades (Ex.: x^{3+2}=x^{2} x^{2} )
e^{15 x}
Passo 1
O enunciado dá a expressão e^{15 x} e pede para expandi-la usando as propriedades de potências/exponenciais (transformar somas no expoente em produtos de exponenciais, escrever como potência de uma base já elevada, etc.).
Informação dada:
A expressão que vamos trabalhar é e^{15 x}.
Passo 2
Relembrando as propriedades que vamos usar (com explicação curta e clara):
Para quaisquer números a e b vale a regra da exponenciação sobre soma do expoente:
e^{a+b}=e^{a}\,e^{b}.
Isto significa que um exponencial com soma no expoente se transforma no produto de exponenciais.
Para um produto de um inteiro n por uma expressão a vale
e^{n a}=(e^{a})^{n}.
Isto vem de aplicar a propriedade anterior repetidas vezes: n a = a+a+\cdots+a (com n parcelas), e cada soma vira um produto.
Em geral, (e^{a})^{m}=e^{m a}. Aqui a é o expoente interno e m o expoente externo; o resultado multiplica os expoentes.
Explicando as variáveis: em e^{a}, a letra a é o expoente (pode depender de x); em e^{n a}, n é um número inteiro que multiplica a.
Exemplo simples (para fixar):
e^{2x}=(e^{x})^{2}=e^{x}\,e^{x}.
Aqui escrevemos 2x=x+x e aplicamos e^{a+b}=e^{a}e^{b}.
Passo 3
Aplicando essas propriedades a e^{15 x}.
Primeiro, escrevemos o produto repetido que está implícito no expoente: