Expanda as potências abaixo utilizando as devidas propriedades (Ex.:
)
Passo 1
O enunciado pede para expandir a potência abaixo, usando as propriedades de potências:
Informações relevantes dadas:
- A expressão tem base
e expoente . - Para fazer expansões usarei propriedades das potências e o Teorema do Binômio (assumindo
inteiro positivo para poder escrever somas/binômios com expoente ).
Passo 2
Relembrando as propriedades de potências que vamos usar (explicadas devagarinho):
- Produto de potências com mesma base:
Aqui
é a base e
são expoentes; a propriedade diz que somar expoentes equivale a multiplicar potências de mesma base.
- Potência de potência:
Significa que elevar uma potência a outro expoente multiplica os expoentes.
- Potência de um produto:
Serve quando a base é um produto.
- Para inteiros positivos, interpretar
como produto de fatores iguais:
- Teorema do Binômio (caso de base somada): para inteiro
,
onde
é o coeficiente binomial.
Vou aplicar essas propriedades passo a passo ao nosso caso.
Passo 3
Usando que
e a propriedade
, escrevo a potência como produto de três potências:
Passo 4
Agrupando as três potências idênticas e usando
no sentido inverso, obtenho
Isso mostra que a expressão é o cubo de
.
Passo 5
Interpretando expoentes inteiros como produto de fatores idênticos, cada
é produto de
fatores iguais. Assim
Em palavras: é o produto de
fatores iguais
, ou o cubo do produto de
desses fatores.
Passo 6
Agora uso o Teorema do Binômio para escrever a expansão em soma (forma polinomial em
). Aplicando o binômio com
,
e
, obtemos
Essa é a expansão completa em termos de soma de termos com coeficientes binomiais. Para entender melhor, os primeiros termos são:
Observação legal: o termo correspondente a
simplifica para
, independente de
, porque
e
.]
Passo 7
Resumo das formas úteis que você pode usar na prova, dependendo do que for pedido:
- Forma fatorada (produto de três potências):
- Forma como potência de potência:
- Forma produto de
fatores:
- Expansão pelo binômio (soma de termos):
Resposta
(\displaystyle \left(1+\frac{2}{n}\right)^{3 n}
\left(1+\frac{2}{n}\right){n}\left(1+\frac{2}{n}\right){n}\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}
\left(\left(1+\frac{2}{n}\right){n}\right){3}
\prod_{i=1}^{3n}\left(1+\frac{2}{n}\right))
(\displaystyle \left(1+\frac{2}{n}\right)^{3 n}
\sum_{k=0}{3n}\binom{3n}{k}\left(\frac{2}{n}\right){k})