Expanda as potências abaixo utilizando as devidas propriedades (Ex.: x^{3+2}=x^{2} x^{2} )
\left(1+\frac{2}{n}\right)^{3 n}

Passo 1

O enunciado pede para expandir a potência abaixo, usando as propriedades de potências:
\left(1+\frac{2}{n}\right)^{3 n}
Informações relevantes dadas:
  • A expressão tem base 1+\dfrac{2}{n} e expoente 3n.
  • Para fazer expansões usarei propriedades das potências e o Teorema do Binômio (assumindo n inteiro positivo para poder escrever somas/binômios com expoente 3n).

Passo 2

Relembrando as propriedades de potências que vamos usar (explicadas devagarinho):
  • Produto de potências com mesma base:
a^{p+q}=a^{p}\,a^{q}.
Aqui a é a base e p,q são expoentes; a propriedade diz que somar expoentes equivale a multiplicar potências de mesma base.
  • Potência de potência:
\bigl(a^{p}\bigr)^{q}=a^{p q}.
Significa que elevar uma potência a outro expoente multiplica os expoentes.
  • Potência de um produto:
(ab)^{p}=a^{p} b^{p}.
Serve quando a base é um produto.
  • Para inteiros positivos, interpretar a^{m} como produto de m fatores iguais:
a^{m}=\prod_{i=1}^{m} a = a\cdot a\cdot\ldots\cdot a \quad(\text{\(m\) vezes}).
  • Teorema do Binômio (caso de base somada): para inteiro m\ge0,
(a+b)^{m}=\sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} a^{\,m-k} b^{\,k},
onde \binom{m}{k}=\dfrac{m!}{k!(m-k)!} é o coeficiente binomial.
Vou aplicar essas propriedades passo a passo ao nosso caso.

Passo 3

Usando que 3n = n + n + n e a propriedade a^{p+q}=a^{p}a^{q}, escrevo a potência como produto de três potências:
\left(1+\frac{2}{n}\right)^{3 n} = \left(1+\frac{2}{n}\right)^{n+n+n} = \left(1+\frac{2}{n}\right)^{n} \left(1+\frac{2}{n}\right)^{n} \left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}.

Passo 4

Agrupando as três potências idênticas e usando \bigl(a^{p}\bigr)^{q}=a^{pq} no sentido inverso, obtenho
\left(1+\frac{2}{n}\right)^{3 n} = \left(\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}\right)^{3}.
Isso mostra que a expressão é o cubo de \left(1+\dfrac{2}{n}\right)^{n}.

Passo 5

Interpretando expoentes inteiros como produto de fatores idênticos, cada \left(1+\dfrac{2}{n}\right)^{n} é produto de n fatores iguais. Assim
\left(1+\frac{2}{n}\right)^{3 n} = \prod_{i=1}^{3n}\left(1+\frac{2}{n}\right) = \left(\prod_{i=1}^{n}\left(1+\frac{2}{n}\right)\right)^{3}.
Em palavras: é o produto de 3n fatores iguais 1+\dfrac{2}{n}, ou o cubo do produto de n desses fatores.

Passo 6

Agora uso o Teorema do Binômio para escrever a expansão em soma (forma polinomial em \dfrac{2}{n}). Aplicando o binômio com a=1, b=\dfrac{2}{n} e m=3n, obtemos
\left(1+\frac{2}{n}\right)^{3 n} = \sum_{k=0}^{3n} \binom{3n}{k} \,1^{\,3n-k}\left(\frac{2}{n}\right)^{k} = \sum_{k=0}^{3n} \binom{3n}{k} \left(\frac{2}{n}\right)^{k}.
Essa é a expansão completa em termos de soma de termos com coeficientes binomiais. Para entender melhor, os primeiros termos são:
\begin{aligned} k=0 &:\; \binom{3n}{0}\left(\frac{2}{n}\right)^{0}=1,\\[4pt] k=1 &:\; \binom{3n}{1}\left(\frac{2}{n}\right)=3n\cdot\frac{2}{n}=6,\\[4pt] k=2 &:\; \binom{3n}{2}\left(\frac{2}{n}\right)^{2},\\ \text{e assim por diante.} \end{aligned}
Observação legal: o termo correspondente a k=1 simplifica para 6, independente de n, porque \binom{3n}{1}=3n e 3n\cdot\dfrac{2}{n}=6.]

Passo 7

Resumo das formas úteis que você pode usar na prova, dependendo do que for pedido:
  • Forma fatorada (produto de três potências):
\left(1+\frac{2}{n}\right)^{3 n} = \left(1+\frac{2}{n}\right)^{n} \left(1+\frac{2}{n}\right)^{n} \left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}.
  • Forma como potência de potência:
\left(1+\frac{2}{n}\right)^{3 n} = \left(\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}\right)^{3}.
  • Forma produto de 3n fatores:
\left(1+\frac{2}{n}\right)^{3 n} = \prod_{i=1}^{3n}\left(1+\frac{2}{n}\right).
  • Expansão pelo binômio (soma de termos):
\left(1+\frac{2}{n}\right)^{3 n} = \sum_{k=0}^{3n} \binom{3n}{k} \left(\frac{2}{n}\right)^{k}.

Resposta

(\displaystyle \left(1+\frac{2}{n}\right)^{3 n}

\left(1+\frac{2}{n}\right){n}\left(1+\frac{2}{n}\right){n}\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}

\left(\left(1+\frac{2}{n}\right){n}\right){3}

\prod_{i=1}^{3n}\left(1+\frac{2}{n}\right))

(\displaystyle \left(1+\frac{2}{n}\right)^{3 n}

\sum_{k=0}{3n}\binom{3n}{k}\left(\frac{2}{n}\right){k})

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