Considere os números complexos:
z_{1}=5 \sqrt{3}+j 5=10 e^{j 30^{\circ}} \quad z_{2}=1+j \sqrt{3}=2 e^{j 60^{\circ}}
Determine:
z_{1} \cdot z_{2}

Passo 1

O enunciado dá dois números complexos e pede o produto entre eles. As informações fornecidas são:
  • z_{1}=5 \sqrt{3}+j 5=10 e^{j 30^{\circ}}.
  • z_{2}=1+j \sqrt{3}=2 e^{j 60^{\circ}}.
A pergunta é: calcular z_{1}\cdot z_{2}.

Passo 2

Vamos lembrar duas coisas importantes (mini-aula rápida e tranquila):
  1. Qualquer número complexo pode ser escrito em forma polar como r e^{j\theta}, onde:
    • r é o módulo (a distância até a origem), r\ge 0;
    • \theta é o argumento (o ângulo que o vetor faz com o eixo real), medido em graus ou radianos.
  2. A multiplicação em forma polar é simples: se z_a = r_a e^{j\theta_a},\qquad z_b = r_b e^{j\theta_b},então z_a z_b = (r_a r_b) e^{j(\theta_a+\theta_b)}.Ou seja, multiplica-se os módulos e soma-se os ângulos. Isso vem da identidade de Euler e^{j\theta}=\cos\theta + j\sin\theta e das propriedades da exponenciação.

Passo 3

Aplicando a regra acima aos números dados (já fornecidos em forma polar):
  • Módulo do produto: r = 10 \cdot 2 = 20.
  • Ângulo do produto: \theta = 30^{\circ} + 60^{\circ} = 90^{\circ}.
Portanto, em forma polar o produto é
20 e^{j 90^{\circ}}.

Passo 4

Converter para forma retangular (mais direta de visualizar): usar e^{j 90^{\circ}}=\cos 90^{\circ}+j\sin 90^{\circ}=0 + j\cdot 1 = j. Assim,
20 e^{j 90^{\circ}} = 20 j.

Passo 5

Verificação alternativa (multiplicação direta em forma retangular, passo a passo):
(5\sqrt{3}+j5)\,(1+j\sqrt{3})
Distribuindo:
=5\sqrt{3}\cdot 1 + 5\sqrt{3}\cdot j\sqrt{3} + j5\cdot 1 + j5\cdot j\sqrt{3}.
Calcule cada termo:
5\sqrt{3}\cdot 1 = 5\sqrt{3},
5\sqrt{3}\cdot j\sqrt{3} = j\cdot 5\sqrt{3}\sqrt{3} = j\cdot 5\cdot 3 = j15,
j5\cdot 1 = j5,
j5\cdot j\sqrt{3} = j^2 \cdot 5\sqrt{3} = -1\cdot 5\sqrt{3} = -5\sqrt{3}.
Somando:
5\sqrt{3} - 5\sqrt{3} + j15 + j5 = 0 + j20 = 20 j.
Confere com o resultado obtido em forma polar.

Resposta

20 e^{j 90^{\circ}}
20 j

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