Resolva o seguinte sistema de equações usando a regra de Cramer:
\left\{\begin{array}{c} 14 x-10 y=100 \\ -10 x+15 y=-40 \end{array}\right.

Passo 1

O sistema que temos é
\left\{\begin{array}{r} 14x-10y=100\\[4pt] -10x+15y=-40 \end{array}\right.
O que o enunciado pede é resolver para as incógnitas x e y. Vou listar as informações úteis extraídas do enunciado:
  • Coeficientes da primeira equação: a_{11}=14, a_{12}=-10, termo independente b_1=100.
  • Coeficientes da segunda equação: a_{21}=-10, a_{22}=15, termo independente b_2=-40.]

Passo 2

Apresentando a regra de Cramer para um sistema 2\times2\): considere o sistema linear \[\begin{cases} a_{11}x+a_{12}y=b_1,\\[4pt] a_{21}x+a_{22}y=b_2. \end{cases}
Define-se o determinante da matriz dos coeficientes por
D = \det\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.
A regra de Cramer diz que, se D\neq0\], o sistema tem solução única dada por \[x=\frac{D_x}{D},\qquad y=\frac{D_y}{D},\] onde \(D_x é o determinante obtido substituindo a primeira coluna pelos termos independentes:
D_x=\det\begin{pmatrix}b_1 & a_{12}\\[4pt] b_2 & a_{22}\end{pmatrix},
e D_y é o determinante obtido substituindo a segunda coluna pelos termos independentes:
D_y=\det\begin{pmatrix}a_{11} & b_1\\[4pt] a_{21} & b_2\end{pmatrix}.
Explicando as letras: a_{ij} são os coeficientes do sistema, b_1,b_2 são os termos à direita, D mede se a matriz de coeficientes é invertível (se D\neq0 há solução única).]

Passo 3

Calcular o determinante D do sistema usando os coeficientes que pegamos no Passo 1:
D = \det\begin{pmatrix}14 & -10\\[4pt] -10 & 15\end{pmatrix} =14\cdot15-(-10)\cdot(-10).
Agora as contas explícitas:
14\cdot15=210,\qquad (-10)\cdot(-10)=100,
logo
D=210-100=110.
Como D=110\neq0, a regra de Cramer é aplicável e o sistema tem solução única.]

Passo 4

Calcular D_x substituindo a primeira coluna por (b_1,b_2)=(100,-40):
D_x=\det\begin{pmatrix}100 & -10\\[4pt] -40 & 15\end{pmatrix} =100\cdot15-(-10)\cdot(-40).
Fazendo as multiplicações:
100\cdot15=1500,\qquad (-10)\cdot(-40)=400,
portanto
D_x=1500-400=1100.]

Passo 5

Calcular D_y substituindo a segunda coluna por (b_1,b_2)=(100,-40):
D_y=\det\begin{pmatrix}14 & 100\\[4pt] -10 & -40\end{pmatrix} =14\cdot(-40)-100\cdot(-10).
Fazendo as multiplicações:
14\cdot(-40)=-560,\qquad 100\cdot(-10)=-1000,
então
D_y=-560-(-1000)=-560+1000=440.]

Passo 6

Aplicando a regra de Cramer:
x=\frac{D_x}{D}=\frac{1100}{110},\qquad y=\frac{D_y}{D}=\frac{440}{110}.
Simplificando as frações dividindo numerador e denominador por 110:
x=\frac{110\cdot10}{110}=10,\qquad y=\frac{110\cdot4}{110}=4.
Portanto obtemos a solução do sistema.

Resposta

x=10
y=4

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