Calcule a Transformada de Fourier das seguintes funções, utilizando a sua definição e suas propriedades:
d) f(t)=t e^-|t|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Fourier juntos! A questão pede para calcular a Transformada de Fourier da função $ f(t) = t e^{-|t|} $. Aqui, estamos trabalhando com o conteúdo de Análise de Sinais, mais especificamente com Transformadas de Fourier. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da Transformada de Fourier e algumas propriedades básicas dessa ferramenta matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Fourier. Ela transforma uma função no domínio do tempo $ f(t) $ para o domínio da frequência $ F(\omega) $. A definição matemática é:
f(t)
No nosso caso, $ f(t) = t e^{-|t|} $. Então, vamos substituir isso na fórmula:
F(omega)

Passo 3

Antes de resolver essa integral diretamente, vamos observar que a função $ e^{-|t|} $ é uma função par (simétrica em relação ao eixo y), e $ t $ é uma função ímpar (simétrica em relação à origem). O produto de uma função ímpar e uma função par é uma função ímpar. Além disso, o fator $ e^{-i \omega t} $ pode ser decomposto em partes reais e imaginárias usando a fórmula de Euler:
e^-|t|
Então nossa integral fica:
t

Passo 4

Agora, vamos separar a integral em duas partes:
F(omega) = integral-infty^infty t e^-|t| cos(omega t) dt - i integral-infty^infty t e^-|t| sin(omega t) dt
Observando que a função $ t e^{-|t|} \cos(\omega t) $ é ímpar (produto de ímpar e par) e a função $ t e^{-|t|} \sin(\omega t) $ é par (produto de ímpar e ímpar), podemos simplificar:
  • A integral de uma função ímpar sobre todo o eixo real é zero.
  • A integral de uma função par pode ser calculada multiplicando por 2 e integrando de 0 a $ \infty $.
Então, a primeira integral desaparece, e ficamos com:
t e^-|t| cos(omega t)

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral:
I = integral0^infty t e^-t sin(omega t) dt
Para resolver isso, vamos usar uma integral padrão da tabela de integrais:
integral0^infty t e^-a t sin(b t) dt = 2 a b(a^2 + b^2)^2
Neste caso, $ a = 1 $ e $ b = \omega $. Substituindo esses valores, temos:
a = 1

Passo 6

Voltando à expressão para $ F(\omega) $:
F(omega)
Simplificando, temos:
F(omega) = -i cdot 2 cdot 2 omega(1 + omega^2)^2 = -i cdot 4 omega(1 + omega^2)^2

Resposta

A Transformada de Fourier da função $ f(t) = t e^{-|t|} $ é:
f(t) = t e^-|t|

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