Calcule a Transformada de Fourier das seguintes funções, utilizando a sua definição e suas propriedades:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Fourier juntos! A questão pede para calcular a Transformada de Fourier da função $ f(t) = t e^{-|t|} $. Aqui, estamos trabalhando com o conteúdo de Análise de Sinais, mais especificamente com Transformadas de Fourier. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da Transformada de Fourier e algumas propriedades básicas dessa ferramenta matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Fourier. Ela transforma uma função no domínio do tempo $ f(t) $ para o domínio da frequência $ F(\omega) $. A definição matemática é:
No nosso caso, $ f(t) = t e^{-|t|} $. Então, vamos substituir isso na fórmula:
Passo 3
Antes de resolver essa integral diretamente, vamos observar que a função $ e^{-|t|} $ é uma função par (simétrica em relação ao eixo y), e $ t $ é uma função ímpar (simétrica em relação à origem). O produto de uma função ímpar e uma função par é uma função ímpar. Além disso, o fator $ e^{-i \omega t} $ pode ser decomposto em partes reais e imaginárias usando a fórmula de Euler:
Então nossa integral fica:
Passo 4
Agora, vamos separar a integral em duas partes:
Observando que a função $ t e^{-|t|} \cos(\omega t) $ é ímpar (produto de ímpar e par) e a função $ t e^{-|t|} \sin(\omega t) $ é par (produto de ímpar e ímpar), podemos simplificar:
- A integral de uma função ímpar sobre todo o eixo real é zero.
- A integral de uma função par pode ser calculada multiplicando por 2 e integrando de 0 a $ \infty $.
Então, a primeira integral desaparece, e ficamos com:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral:
Para resolver isso, vamos usar uma integral padrão da tabela de integrais:
Neste caso, $ a = 1 $ e $ b = \omega $. Substituindo esses valores, temos:
Passo 6
Voltando à expressão para $ F(\omega) $:
Simplificando, temos:
Resposta
A Transformada de Fourier da função $ f(t) = t e^{-|t|} $ é: