O ar se expande adiabaticamente (sem entrada de calor, sem saída de calor) de T=300 \mathrm{~K} e P = 100 atm até uma pressao final de 1 atm. Trate o gás como ideal com (\gamma=1,67) e determine a temperatura final.

Passo 1

O enunciado pede a temperatura final T_2 de um gás ideal (ar, \gamma=1,67) que se expande adiabaticamente de P_1=100 atm e T_1=300 K até P_2=1 atm. Vamos usar as relações do processo adiabático reversível:
P\,V^\gamma = \text{constante}
e
T\,V^{\gamma-1} = \text{constante}.

Passo 2

Da relação
P_1\,V_1^\gamma = P_2\,V_2^\gamma
segue
\frac{V_1}{V_2} = \biggl(\frac{P_2}{P_1}\biggr)^{1/\gamma}.

Passo 3

Usando
\frac{T_2}{T_1} = \Bigl(\frac{V_1}{V_2}\Bigr)^{\gamma-1}
e substituindo \tfrac{V_1}{V_2} acima, obtemos
\frac{T_2}{T_1} = \Bigl(\frac{P_2}{P_1}\Bigr)^{(\gamma-1)/\gamma} \quad\Longrightarrow\quad T_2 = T_1 \biggl(\frac{P_2}{P_1}\biggr)^{(\gamma-1)/\gamma}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos:
\frac{\gamma-1}{\gamma} = \frac{1,67 - 1}{1,67} \approx 0,4012, \quad \frac{P_2}{P_1} = \frac{1}{100} = 0,01,
T_2 = 300 \times (0,01)^{0,4012} \approx 300 \times 0,1578 \approx 47{,}3\text{ K}.

Resposta

A temperatura final é T_2 \approx 47{,}3 K.

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