A expectativa de vida dos moradores de certa região apresenta uma média de 60 anos, com desvio padrão de 4 anos. A prefeitura dessa região há 10 anos estabeleceu medidas que visavam a melhoria na qualidade de vida de seus habitantes e após esse período observou-se uma expectativa de vida média de 62,1 anos, para 36 óbitos registrados. Podemos concluir que a expectativa de vida dessa região aumentou? Use alpha=5 %.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente sabe que, originalmente, a expectativa de vida dos moradores dessa região era de 60 anos, com um desvio padrão de 4 anos. A prefeitura implementou umas medidas pra melhorar a qualidade de vida e, após 10 anos, a média passou pra 62,1 anos com 36 óbitos registrados. A pergunta é: tem como concluir que a expectativa de vida realmente aumentou? Vamos usar um nível de significância de 5%.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que precisamos fazer aqui. Basicamente, queremos verificar se houve um aumento na expectativa de vida após as medidas da prefeitura. Isso é um caso clássico de teste de hipótese onde a gente compara a média observada com a média original para ver se a diferença é significativa.

Passo 3

Vamos definir as hipóteses:
  • Hipótese Nula (H₀): A expectativa de vida não mudou. Ou seja, μ = 60 anos.
  • Hipótese Alternativa (H₁): A expectativa de vida aumentou. Ou seja, μ > 60 anos.
Estamos fazendo um teste unilateral porque queremos saber se aumentou, não apenas se mudou.

Passo 4

Agora, vamos calcular o estatístico de teste. Como conhecemos o desvio padrão da população e a amostra é relativamente grande (n = 36), vamos usar o teste z. A fórmula do z é:
z = barx - mu0sigmaraizn
Onde:
  • (média da amostra)
  • (média original)
  • (desvio padrão)
  • (tamanho da amostra)

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
z = 62,1 - 604raiz36 = 2,146 = 2,10,6667 approx 3,15
Então, o valor do nosso z é aproximadamente 3,15.

Passo 6

Agora, vamos determinar o valor crítico para o nosso teste. Como o nível de significância e é um teste unilateral (somente para um lado), olhamos na tabela z para encontrar o valor que corresponde a 95% (100% - 5%) da distribuição normal.
O valor crítico de z para em um teste unilateral é aproximadamente 1,645.

Passo 7

Comparamos o nosso z calculado com o valor crítico:
3,15 > 1,645
Como o z calculado é maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base nos cálculos, concluímos que a expectativa de vida dos moradores dessa região realmente aumentou após as medidas implementadas pela prefeitura, com um nível de confiança de 95%.

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