A expectativa de vida dos moradores de certa região apresenta uma média de 60 anos, com desvio padrão de 4 anos. A prefeitura dessa região há 10 anos estabeleceu medidas que visavam a melhoria na qualidade de vida de seus habitantes e após esse período observou-se uma expectativa de vida média de 62,1 anos, para 36 óbitos registrados. Podemos concluir que a expectativa de vida dessa região aumentou? Use
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente sabe que, originalmente, a expectativa de vida dos moradores dessa região era de 60 anos, com um desvio padrão de 4 anos. A prefeitura implementou umas medidas pra melhorar a qualidade de vida e, após 10 anos, a média passou pra 62,1 anos com 36 óbitos registrados. A pergunta é: tem como concluir que a expectativa de vida realmente aumentou? Vamos usar um nível de significância de 5%.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que precisamos fazer aqui. Basicamente, queremos verificar se houve um aumento na expectativa de vida após as medidas da prefeitura. Isso é um caso clássico de teste de hipótese onde a gente compara a média observada com a média original para ver se a diferença é significativa.
Passo 3
Vamos definir as hipóteses:
- Hipótese Nula (H₀): A expectativa de vida não mudou. Ou seja, μ = 60 anos.
- Hipótese Alternativa (H₁): A expectativa de vida aumentou. Ou seja, μ > 60 anos.
Estamos fazendo um teste unilateral porque queremos saber se aumentou, não apenas se mudou.
Passo 4
Agora, vamos calcular o estatístico de teste. Como conhecemos o desvio padrão da população e a amostra é relativamente grande (n = 36), vamos usar o teste z. A fórmula do z é:
Onde:
-
(média da amostra) -
(média original) -
(desvio padrão) -
(tamanho da amostra)
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Então, o valor do nosso z é aproximadamente 3,15.
Passo 6
Agora, vamos determinar o valor crítico para o nosso teste. Como o nível de significância
e é um teste unilateral (somente para um lado), olhamos na tabela z para encontrar o valor que corresponde a 95% (100% - 5%) da distribuição normal.
O valor crítico de z para
em um teste unilateral é aproximadamente 1,645.
Passo 7
Comparamos o nosso z calculado com o valor crítico:
Como o z calculado é maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com base nos cálculos, concluímos que a expectativa de vida dos moradores dessa região realmente aumentou após as medidas implementadas pela prefeitura, com um nível de confiança de 95%.