Suponha que você esteja auxiliando um pesquisador das Ciências Sociais que esteja conduzindo um projeto piloto para investigar a associação entre horas gastas no Instagram por dia (Xi) e a pontuação em uma escala (com valores de 0 a 5) de autoestima ( Yi ). Nesse início do projeto, o pesquisador conseguiu coletar dados de n=4 indivíduos. Os pontos amostrais correspondentes de X:=(X1, ldots, X4)^T e Y:=(Y1, ldots, Y4)^T são
i Yi Xi
1 4 1
2 2 4
3 2 2
4 4 1
a. Calcule a média de X e Y, barX e barY.
b. Calcule a variância de X e Y, SX^2 e SY^2.
c. Calcule o desvio padrão de X e Y, SX e SY.
e. Com base nos resultados dos itens b. e d., obtenha a versão padronizada de X e Y, X(su) e Y(su).
f. Com base nos resultados do item e., calcule o coeficiente de correlação entre X e Y, rX Y.
g. Com base nos resultados do item f., o que você pode inferir sobre a relação entre o número de horas gastas no Instagram por dia e a pontuação na escala de autoestima?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que tá rolando aqui! Temos um pesquisador que quer saber se há uma relação entre o tempo que as pessoas passam no Instagram por dia ( Xi) e a pontuação de autoestima delas ( Yi), que vai de 0 a 5. Ele já coletou dados de 4 pessoas. Vamos precisar calcular a média, variância, desvio padrão, padronizar os dados e, por fim, descobrir se existe correlação entre essas duas variáveis. Para isso, vamos usar algumas fórmulas básicas de estatística, como a média aritmética, variância, desvio padrão e coeficiente de correlação.

Passo 2

a. Calculando a média de X e Y, barX e barY
A média aritmética é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Então, vamos calcular cada uma:
Para X:
barX = X1 + X2 + X3 + X44 = 1 + 4 + 2 + 14 = 84 = 2
Para Y:
barY = Y1 + Y2 + Y3 + Y44 = 4 + 2 + 2 + 44 = 124 = 3

Passo 3

b. Calculando a variância de X e Y, SX^2 e SY^2
A variância mede o quanto os valores se espalham em relação à média. A fórmula para a variância amostral é:
S^2 = sum (Xi - barX)^2n - 1
Vamos calcular para X:
SX^2 &= (1 - 2)^2 + (4 - 2)^2 + (2 - 2)^2 + (1 - 2)^24 - 1 &= 1 + 4 + 0 + 13 &= 63 &= 2
E para Y:
SY^2 &= (4 - 3)^2 + (2 - 3)^2 + (2 - 3)^2 + (4 - 3)^24 - 1 &= 1 + 1 + 1 + 13 &= 43 &approx 1,33

Passo 4

c. Calculando o desvio padrão de X e Y, SX e SY
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e nos dá uma medida da dispersão dos dados na mesma unidade das variáveis.
Para X:
SX = raizSX^2 = raiz2 approx 1,41
Para Y:
SY = raizSY^2 = raiz43 approx 1,15

Passo 5

e. Obtendo a versão padronizada de X e Y, X(su) e Y(su)
Padronizar os dados significa transformar os valores para que a média seja 0 e o desvio padrão seja 1. A fórmula para padronização (z-score) é:
X(su)i = Xi - barXSX
Y(su)i = Yi - barYSY
Vamos calcular para cada indivíduo:
Para X(su):
X(su)1 &= 1 - 21,41 approx -0,71 X(su)2 &= 4 - 21,41 approx 1,41 X(su)3 &= 2 - 21,41 = 0 X(su)4 &= 1 - 21,41 approx -0,71
Para Y(su):
Y(su)1 &= 4 - 31,15 approx 0,87 Y(su)2 &= 2 - 31,15 approx -0,87 Y(su)3 &= 2 - 31,15 approx -0,87 Y(su)4 &= 4 - 31,15 approx 0,87

Passo 6

f. Calculando o coeficiente de correlação entre X e Y, rXY
O coeficiente de correlação mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis. A fórmula é:
rXY = sum (X(su)i cdot Y(su)i)n - 1
Vamos multiplicar os valores padronizados de cada indivíduo e somar:
X(su)1 cdot Y(su)1 &= (-0,71) cdot 0,87 approx -0,62 X(su)2 cdot Y(su)2 &= 1,41 cdot (-0,87) approx -1,23 X(su)3 cdot Y(su)3 &= 0 cdot (-0,87) = 0 X(su)4 cdot Y(su)4 &= (-0,71) cdot 0,87 approx -0,62
Somando esses valores:
-0,62 -1,23 + 0 -0,62 = -2,47
Agora, dividimos pela quantidade de pares menos um:
rXY = -2,474 - 1 = -2,473 approx -0,82

Passo 7

g. O que o coeficiente de correlação nos diz sobre a relação entre o número de horas gastas no Instagram por dia e a pontuação na escala de autoestima?
O valor de rXY approx -0,82 indica uma forte correlação negativa entre as duas variáveis. Isso significa que, conforme o tempo gasto no Instagram aumenta, a pontuação de autoestima tende a diminuir, e vice-versa. Em outras palavras, há uma tendência de que pessoas que passam mais horas no Instagram tenham níveis mais baixos de autoestima, de acordo com esses dados.

Resposta

Calculamos que o coeficiente de correlação entre as horas gastas no Instagram e a pontuação de autoestima é aproximadamente -0,82, indicando uma forte relação negativa. Assim, há uma tendência de que quanto mais tempo uma pessoa passa no Instagram diariamente, menor seja sua pontuação de autoestima na escala avaliada.

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