Em uma experiência de adsorção do oxigênio sobre o tungstênio, verifica-se que o volume dessorvido de oxigênio em 27 min , a 1856 K , é igual ao volume dessorvido em 2,0 \mathrm{~min}, a 1978 K . Qual é a energia de ativaçāo de dessorçāo? Durante quanto tempo o mesmo volume será dessorvido a (i) 298 K, (ii) 3000 K ?

Passo 1

Resumo do que o enunciado dá e pede (tudo bem claro para a gente não se perder):\n
O enunciado diz que o mesmo volume de oxigênio é dessorvido em 27\\ \mathrm{min} à temperatura 1856\\ \mathrm{K} e em 2{,}0\\ \mathrm{min} à temperatura 1978\\ \mathrm{K}.\n
Dados fornecidos:\n
\,t_1 = 27\\ \mathrm{min}, \;T_1 = 1856\\ \mathrm{K}.\n
\,t_2 = 2{,}0\\ \mathrm{min}, \;T_2 = 1978\\ \mathrm{K}.\n
O que nos pedem:\n
  1. A energia de ativação de dessorção, E_a.\n
  2. O tempo necessário para dessorver o mesmo volume a (i) 298\\ \mathrm{K} e (ii) 3000\\ \mathrm{K}.\n

Passo 2

Modelo físico e hipótese usada (explico por quê):\n
Para processos de dessorção em que a quantidade dessorvida em curto intervalo é proporcional à velocidade do processo, podemos assumir que a velocidade efetiva é proporcional à constante de taxa k. Isso significa que, para a mesma situação inicial, o volume dessorvido V em um tempo t é proporcional a k\,t. Portanto, se o mesmo volume é dessorvido em dois pares (k_1,t_1) e (k_2,t_2), vale a relação
k_1\,t_1 = k_2\,t_2.
Essa é uma hipótese padrão simples (equivalente a assumir que a fração dessorvida é proporcional a k t na faixa considerada). Se preferir, pense: quanto maior k, menos tempo necessário para obter o mesmo volume.

Passo 3

Ligando isso à lei de Arrhenius (a parte teórica importante):\n
A constante de taxa depende da temperatura pela expressão de Arrhenius:
k(T) = A\,\exp\!\left(-\dfrac{E_a}{R\,T}\right),
onde A é o fator pré-exponencial (constante), E_a é a energia de ativação que queremos, R é a constante universal dos gases e T é a temperatura absoluta em kelvin. Aqui usaremos
R = 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
Tomando a razão k_1/k_2 das duas temperaturas e usando a forma exponencial obtemos
\frac{k_1}{k_2} = \exp\!\left[-\dfrac{E_a}{R}\left(\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}\right)\right].
Usando a relação do Passo 2 ( k_1 t_1 = k_2 t_2) obtemos
\frac{k_1}{k_2}=\frac{t_2}{t_1}.
Igualando as duas expressões temos a equação para E_a:
\ln\!\left(\frac{t_2}{t_1}\right) = -\dfrac{E_a}{R}\left(\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}\right).
Despejando E_a fica
E_a = -\,R\;\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{t_2}{t_1}\right)}{\left(\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}\right)}.
Pronto — essa é a fórmula prática que vamos usar. Observe que o sinal dá certo porque \ln(t_2/t_1) é negativo (já que t_2<t_1) e (1/T_1-1/T_2) também é negativo (já que T_2>T_1), produzindo E_a>0.

Passo 4

Cálculo numérico de E_a (vou mostrar as contas explicando cada passo):\n
Primeiro, calcule a razão de tempos:
\frac{t_2}{t_1}=\frac{2{,}0}{27}=0{,}074074\ldots
Logo
\ln\!\left(\frac{t_2}{t_1}\right)=\ln(0{,}074074\ldots)= -2{,}602689685\ldots
Agora a diferença dos inversos das temperaturas. É mais prático escrever
\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}=\frac{T_2-T_1}{T_1\,T_2}=\frac{1978-1856}{1856\times 1978}=\frac{122}{3\,671\,168}.
Numericamente isso vale aproximadamente
\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\approx 3{,}323\times 10^{-5}\\ \mathrm{K^{-1}}.
Agora usamos a fórmula de E_a:
E_a = -\,R\;\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{t_2}{t_1}\right)}{\left(\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}\right)}.
Substituindo R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}, o valor do \ln e a diferença de inversos:
E_a \approx -\,8{,}314\cdot\dfrac{-2{,}602689685}{3{,}323\times 10^{-5}}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Fazendo a conta obtemos (arredondando com sentido físico)
E_a \approx 6{,}51\times 10^{5}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} = 651\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
Interpretação rápida: é uma energia de ativação muito alta — faz sentido que a dessorção varie fortemente com a temperatura.

Passo 5

Cálculo do tempo necessário para dessorver o mesmo volume a outras temperaturas (usando relação k t= constante):\n
Queremos t(T) tal que k(T)\,t(T)=k(T_1)\,t_1. Assim
t(T)=t_1\;\frac{k(T_1)}{k(T)}=t_1\;\exp\!\left[-\dfrac{E_a}{R}\left(\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T}\right)\right].
Vamos usar t_1=27\\ \mathrm{min} e T_1=1856\\ \mathrm{K} (poderíamos usar o par 2{,}0\\ \mathrm{min},1978\\ \mathrm{K} e daria o mesmo resultado). Usamos o E_a calculado no Passo 4.
(i) Para T=298\\ \mathrm{K}:\n
Calcule a diferença
\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T}=\frac{1}{1856}-\frac{1}{298}=\frac{298-1856}{1856\times 298}=\frac{-1558}{553088}\approx -0{,}0028159\\ \mathrm{K^{-1}}.
Logo o argumento do exponencial é
-\dfrac{E_a}{R}\left(\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T}\right)\approx -\dfrac{6{,}51\times 10^{5}}{8{,}314}\times(-0{,}0028159)\approx 220{,}7.
Portanto
t(298\\ \mathrm{K}) \approx 27\\ \mathrm{min}\times e^{220{,}7}\approx 1{,}96\times 10^{97}\\ \mathrm{min}.
Esse número é absurdamente grande — em anos:
t(298\\ \mathrm{K})\approx \dfrac{1{,}96\times 10^{97}}{525600}\\ \mathrm{anos}\approx 3{,}72\times 10^{91}\\ \mathrm{anos}.
(ou seja, praticamente impossível de observar na prática — o processo fica tremendamente lento a temperatura ambiente).
(ii) Para T=3000\\ \mathrm{K}:\n
Calcule a diferença
\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T}=\frac{1}{1856}-\frac{1}{3000}=\frac{3000-1856}{1856\times 3000}=\frac{1144}{5\,568\,000}\approx 2{,}0548\times 10^{-4}\\ \mathrm{K^{-1}}.
Então o argumento do exponencial é
-\dfrac{E_a}{R}\left(\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T}\right)\approx -\dfrac{6{,}51\times 10^{5}}{8{,}314}\times(2{,}0548\times 10^{-4})\approx -16{,}10.
Assim
t(3000\\ \mathrm{K}) \approx 27\\ \mathrm{min}\times e^{-16{,}10}\approx 2{,}75\times 10^{-6}\\ \mathrm{min}.
Convertendo para unidades mais usuais:
t(3000\\ \mathrm{K})\approx 2{,}75\times 10^{-6}\\ \mathrm{min}\times 60\\ \mathrm{s/min}\approx 1{,}65\times 10^{-4}\\ \mathrm{s}\approx 0{,}165\\ \mathrm{ms}.
Ou seja, a dessorção fica extremamente rápida a 3000\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Resumo interpretativo e ânimo: você viu como usar a relação k t= constante (mesmo volume) ligada à lei de Arrhenius para obter E_a e depois extrapolar tempos para outras temperaturas. É normal que a extrapolação para temperaturas muito baixas dê tempos absurdamente grandes — é sinal de que o processo fica virtualmente parado. Você está indo bem; lembre-se de sempre verificar unidades e os sinais na exponencial para não se confundir.

Resposta

E_a \approx 6{,}51\times 10^{5}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} = 651\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}\n
t(298\\ \mathrm{K}) \approx 1{,}96\times 10^{97}\\ \mathrm{min} \approx 3{,}72\times 10^{91}\\ \mathrm{anos}\n
t(3000\\ \mathrm{K}) \approx 2{,}75\times 10^{-6}\\ \mathrm{min} \approx 1{,}65\times 10^{-4}\\ \mathrm{s} \approx 0{,}165\\ \mathrm{ms}

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