O tempo médio de permanência de um átomo de oxigênio adsorvido em uma superfície de tungstênio é de 0,36 \mathrm{~s}, a 2548 K , e de 3,49 \mathrm{~s}, a 2362 K . Qual é a energia de ativaçāo para a quimissorçāo?

Passo 1

O enunciado dá o tempo médio de permanência (residence time) de um átomo de oxigênio adsorvido na superfície de tungstênio em duas temperaturas diferentes, e pede a energia de ativação para a quimissorção. Os dados fornecidos são:
\tau_1 = 0,36\\ \mathrm{s} à T_1 = 2548\\ \mathrm{K} e \tau_2 = 3,49\\ \mathrm{s} à T_2 = 2362\\ \mathrm{K}.
A pergunta é: qual é a energia de ativação E_a para a quimissorção?

Passo 2

Entendendo a relação física e a fórmula que vamos usar (aulas rápidas e sem mistério).
  • O tempo médio de permanência \tau está relacionado à constante de taxa de saída (ou de reação) k pela relação
\tau=\frac{1}{k}.
Aqui, \tau tem unidades de tempo (s) e k tem unidades de \mathrm{s^{-1}}.
  • A constante de taxa k em muitos processos térmicos segue a lei de Arrhenius:
k = A \,\mathrm{e}^{-E_a/(R T)},
onde:
  • A é o fator pré-exponencial (ou frequência), com unidades de \mathrm{s^{-1}};
  • E_a é a energia de ativação (unidade: J·mol^{-1});
  • R é a constante dos gases, R = 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}};
  • T é a temperatura absoluta em kelvin (K).
  • Substituindo k=1/\tau na lei de Arrhenius obtemos uma relação direta entre \tau e T:
\frac{1}{\tau} = A\,\mathrm{e}^{-E_a/(R T)} \quad\Rightarrow\quad \tau = \frac{1}{A}\,\mathrm{e}^{E_a/(R T)}.
Essa equação mostra que \tau aumenta exponencialmente com E_a/(RT).

Passo 3

Linearizando para facilitar a extração de E_a.
  • Tomando logaritmo natural em ambos os lados da expressão \tau = A^{-1}\mathrm{e}^{E_a/(RT)}, obtemos
\ln \tau = -\ln A + \frac{E_a}{R}\cdot\frac{1}{T}.
  • Isso é uma equação linear do tipo \ln \tau = \text{constante} + \dfrac{E_a}{R}\cdot \dfrac{1}{T}. Assim, a inclinação de um gráfico \ln \tau versus 1/T é \dfrac{E_a}{R}.
  • Com dois pontos (T_1,\tau_1) e (T_2,\tau_2) podemos calcular E_a por:
\frac{E_a}{R} = \frac{\ln \tau_2 - \ln \tau_1}{\dfrac{1}{T_2} - \dfrac{1}{T_1}} \quad\Rightarrow\quad E_a = R\cdot\frac{\ln \tau_2 - \ln \tau_1}{\dfrac{1}{T_2} - \dfrac{1}{T_1}}.
Nesta fórmula, R é conhecido; \tau_1,\tau_2,T_1,T_2 vêm do enunciado.

Passo 4

Cálculo dos logaritmos e dos termos 1/T.
  • Primeiro calculamos os logaritmos naturais:
\ln \tau_1 = \ln(0,36) \approx -1,02165,
\ln \tau_2 = \ln(3,49) \approx 1,24905.
  • Diferença dos logaritmos:
\ln \tau_2 - \ln \tau_1 \approx 1,24905 - (-1,02165) = 2,27070.
  • Agora as inversas das temperaturas:
\frac{1}{T_1} = \frac{1}{2548}\\ \mathrm{K^{-1}} \approx 0,00039245\\ \mathrm{K^{-1}},
\frac{1}{T_2} = \frac{1}{2362}\\ \mathrm{K^{-1}} \approx 0,00042351\\ \mathrm{K^{-1}}.
  • Diferença das inversas:
\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1} \approx 0,00042351 - 0,00039245 = 0,00003106\\ \mathrm{K^{-1}}.

Passo 5

Substituição na fórmula para E_a e cálculo final.
  • Usando R = 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}},
E_a = R\cdot\frac{\ln \tau_2 - \ln \tau_1}{\dfrac{1}{T_2} - \dfrac{1}{T_1}} \approx 8,314\cdot\frac{2,27070}{3,106\times10^{-5}}.
  • Primeiro o numerador:
8,314 \times 2,27070 \approx 18,88\\ (\mathrm{J\,mol^{-1}}).
  • Agora dividir pela diferença das inversas:
E_a \approx \frac{18,88}{3,106\times10^{-5}} \approx 6,08\times10^{5}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
  • Convertendo para quilojoule por mol:
E_a \approx 608\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.

Resposta

E_a = 6,08\times10^{5}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} = 608\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}

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