Numa experiência de demonstração em classe, sobre pulsos ondulatórios, um tubo de borracha está fixo numa das extremidades a um suporte e passa por uma polia para ser tensionado por um peso pendurado na outra extremidade. Suponhamos que a distância entre o suporte fixo e a polia seja 10 m , que a massa deste comprimento seja 0,7 \mathrm{~kg} e que o peso pendurado seja de 110 N . Se o tubo for atingido por um golpe transversal, numa das extremidades, quanto tempo levará o pulso assim provocado para chegar à outra extremidade?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que foram fornecidos.
  • O que o enunciado pede: determinar quanto tempo levará o pulso transversal para ir de uma extremidade do tubo até a outra extremidade (ou seja, o tempo de travessia do pulso).
  • Dados fornecidos:
    • Comprimento entre o suporte fixo e a polia: L=10\\ \mathrm{m}.
    • Massa total do trecho de tubo: m=0,7\\ \mathrm{kg}.
    • Força de tração (peso pendurado): T=110\\ \mathrm{N}.

Passo 2

Primeiro vamos transformar os dados em quantidades úteis para a fórmula que usaremos: a densidade linear de massa \mu (massa por unidade de comprimento).
  • Definição: \mu é a massa por comprimento, ou seja \mu=\dfrac{m}{L}.
  • Aplicando os números:
\mu=\dfrac{m}{L}=\dfrac{0,7}{10}=0,07\\ \mathrm{kg/m}.
Expliquei cada símbolo: \mu é a densidade linear (kg por metro), m é a massa total (kg) e L é o comprimento (m).

Passo 3

Agora a parte conceitual: qual fórmula liga a tensão, a densidade linear e a velocidade do pulso?
  • Fórmula conhecida para ondas transversais em uma corda/tubo tensionado:
v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}.
Aqui v é a velocidade do pulso (m/s), T é a tensão (N) e \mu é a densidade linear (kg/m).
  • Por que essa fórmula faz sentido (explicação didática, passo a passo):
    1. Imagine um pequeno pedaço da corda de comprimento \Delta x. A massa desse pedaço é \mu\,\Delta x.
    2. Quando uma onda passa, esse pedaço sofre aceleração transversal devido às forças de tensão nas suas extremidades. A resultante transversal aproximada é proporcional à curvatura local da corda e ao produto T\,\Delta x.
    3. Aplicando a segunda lei de Newton na direção transversal: massa \times aceleração \approx força resultante. Isso leva, no limite \Delta x\to0, à equação de onda clássica
    \dfrac{\partial^2 y}{\partial t^2}=v^2\dfrac{\partial^2 y}{\partial x^2},onde y(x,t) é o deslocamento transversal e aparece naturalmente a relação v^2=\dfrac{T}{\mu}.
    1. Assim obtemos v=\sqrt{T/\mu}. Em palavras simples: quanto maior a tensão T, mais rápido o pulso; quanto maior a massa por metro \mu, mais lento o pulso.

Passo 4

Calcular numericamente a velocidade usando os valores que já temos.
  • Substituindo T=110\\ \mathrm{N} e \mu=0,07\\ \mathrm{kg/m} na fórmula:
v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}=\sqrt{\dfrac{110}{0,07}}.
  • Calcular a razão:
\dfrac{110}{0,07}=1571{,}428571\ldots
  • Raiz quadrada:
v=\sqrt{1571{,}428571\ldots}\approx 39{,}639\\ \mathrm{m/s}.
Para ficar prático, guardamos v\approx 39{,}64\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Determinar o tempo de travessia t. Tempo é distância dividida pela velocidade (movimento à velocidade média constante neste contexto).
  • Fórmula:
t=\dfrac{L}{v}.
  • Substituindo L=10\\ \mathrm{m} e v\approx 39{,}639\\ \mathrm{m/s}:
t=\dfrac{10}{39{,}639\ldots}\approx 0{,}2522\\ \mathrm{s}.
Arredondando de modo conveniente para a precisão dos dados, podemos reportar t\approx 0{,}252\\ \mathrm{s} (ou aproximadamente 0{,}25\\ \mathrm{s}).
Dica de prova: mostre sempre os passos — calcule \mu, depois v=\sqrt{T/\mu} e por fim t=L/v. É rápido de fazer na mão e evita erros.

Resposta

t\approx 0{,}252\\ \mathrm{s}

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