Ao longo de um eixo x , a posição de uma partícula é dada
, em que x está em metros e
em segundos. No instante
e 0 s qual a posição, velocidade e a aceleração da partícula, respectivamente?
Passo 1
O enunciado dá a lei horária da posição ao longo do eixo
:
onde
está em metros e
em segundos. O instante pedido é
.
O que precisa ser encontrado: a posição , a velocidade
e a aceleração
da partícula no instante
, respectivamente.
O que precisa ser encontrado: a posição
Passo 2
Conceito e como obter a velocidade a partir da posição.
Fisicamente, a velocidade instantânea é a taxa de variação da posição em relação ao tempo; matematicamente é a derivada da função posição . Escrevemos:
Fisicamente, a velocidade instantânea é a taxa de variação da posição em relação ao tempo; matematicamente é a derivada da função posição
Regra de derivação que vamos usar: a regra da potência (power rule). Para
,
Aplicando isso termo a termo em
:
Portanto:
com unidade
.
Passo 3
Conceito e como obter a aceleração a partir da velocidade (ou da posição).
A aceleração instantânea é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo; é a segunda derivada da posição:
A aceleração instantânea é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo; é a segunda derivada da posição:
Vamos derivar
termo a termo:
Assim:
com unidade
.
Passo 4
Calcular a posição em
. Substituir
em
:
Passo a passo:
Portanto
Passo 5
Calcular a velocidade em
. Substituir
em
:
Passo a passo:
Portanto
Passo 6
Calcular a aceleração em
. Substituir
em
:
Passo a passo:
Portanto
Passo 7
Breve interpretação (para te animar): em
a partícula está a
no eixo
, movendo-se no sentido positivo com velocidade
e sua velocidade está aumentando (aceleração positiva) a
. Vai bem — esses cálculos são padrões em cinemática!