Ao longo de um eixo x , a posição de uma partícula é dada \mathrm{p} x=19 t^{2}-3 t^{3} \cdot 3, em que x está em metros e t em segundos. No instante t=2 e 0 s qual a posição, velocidade e a aceleração da partícula, respectivamente?

Passo 1

O enunciado dá a lei horária da posição ao longo do eixo x:
x(t)=19\,t^{2}-3\,t^{3},
onde x está em metros e t em segundos. O instante pedido é t=2{,}0\\ \mathrm{s}.
O que precisa ser encontrado: a posição x, a velocidade v e a aceleração a da partícula no instante t=2{,}0\\ \mathrm{s}, respectivamente.

Passo 2

Conceito e como obter a velocidade a partir da posição.
Fisicamente, a velocidade instantânea é a taxa de variação da posição em relação ao tempo; matematicamente é a derivada da função posição x(t). Escrevemos:
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Regra de derivação que vamos usar: a regra da potência (power rule). Para t^{n},
\frac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1}.
Aplicando isso termo a termo em x(t)=19\,t^{2}-3\,t^{3}:
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(19\,t^{2}\bigr)=19\cdot 2\,t^{1}=38\,t.
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(-3\,t^{3}\bigr)=-3\cdot 3\,t^{2}=-9\,t^{2}.
Portanto:
v(t)=38\,t-9\,t^{2},
com unidade \mathrm{m/s}.

Passo 3

Conceito e como obter a aceleração a partir da velocidade (ou da posição).
A aceleração instantânea é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo; é a segunda derivada da posição:
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}.
Vamos derivar v(t)=38\,t-9\,t^{2} termo a termo:
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(38\,t\bigr)=38.
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(-9\,t^{2}\bigr)=-9\cdot 2\,t=-18\,t.
Assim:
a(t)=38-18\,t,
com unidade \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 4

Calcular a posição em t=2{,}0\\ \mathrm{s}. Substituir t=2 em x(t):
x(2)=19\cdot(2)^{2}-3\cdot(2)^{3}.
Passo a passo:
(2)^{2}=4,\qquad 19\cdot 4=76,
(2)^{3}=8,\qquad 3\cdot 8=24,
x(2)=76-24=52.
Portanto x(2)=52\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a velocidade em t=2{,}0\\ \mathrm{s}. Substituir t=2 em v(t):
v(2)=38\cdot 2-9\cdot(2)^{2}.
Passo a passo:
38\cdot 2=76,\qquad (2)^{2}=4,\qquad 9\cdot 4=36,
v(2)=76-36=40.
Portanto v(2)=40\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular a aceleração em t=2{,}0\\ \mathrm{s}. Substituir t=2 em a(t):
a(2)=38-18\cdot 2.
Passo a passo:
18\cdot 2=36,\qquad a(2)=38-36=2.
Portanto a(2)=2\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 7

Breve interpretação (para te animar): em t=2{,}0\\ \mathrm{s} a partícula está a 52\\ \mathrm{m} no eixo x, movendo-se no sentido positivo com velocidade 40\\ \mathrm{m/s} e sua velocidade está aumentando (aceleração positiva) a 2\\ \mathrm{m/s^{2}}. Vai bem — esses cálculos são padrões em cinemática!

Resposta

x(2{,}0\\ \mathrm{s})=52\\ \mathrm{m}
v(2{,}0\\ \mathrm{s})=40\\ \mathrm{m/s}
a(2{,}0\\ \mathrm{s})=2\\ \mathrm{m/s^{2}}

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