Você vive num universo hipotético onde a velocidade da luz é de apenas
. Numa estação de metrô de sua cidade, você está parado na plataforma e observa passar um comboio de comprimento próprio 320 m a uma velocidade de
. Quando a frente do comboio passa exatamente por você, você aciona seu cronômetro e o maquinista dispara um flash que se propaga em direção à parte traseira do trem, onde atinge um sensor que dará início ao processo de frenagem do comboio.\na) Para o maquinista, depois de quanto tempo a luz do flash atinge o sensor? Esse intervalo de tempo é próprio?\nb) Quanto tempo marca seu cronômetro quando a luz do flash atingir o sensor? Esse intervalo de tempo é próprio?\nc) Por algum motivo o circuito falha e o trem não é freado. Quanto marca seu cronômetro no instante em que a traseira do trem passa por você? Esse intervalo de tempo é próprio?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- Velocidade da luz:
. - Comprimento próprio (no referencial do trem):
. - Velocidade do trem relativa à plataforma:
. - Momento
no referencial da plataforma: a frente do trem passa por você (você aciona o cronômetro) e, simultaneamente nesse referencial, o maquinista dispara um flash que vai em direção à traseira do trem.
- Velocidade da luz:
- Eventos importantes (nomeados para claridade):
- Evento A: emissão do flash pela frente do trem (ocorre quando a frente passa por você). Em coordenadas da plataforma:
. - Evento B: o flash atinge o sensor na traseira do trem (início da frenagem). Queremos quando isso ocorre nos dois referenciais.
- Evento C: instante em que a traseira do trem passa por você (caso o trem não seja freado). Queremos quando isso ocorre no referencial da plataforma.
- Evento A: emissão do flash pela frente do trem (ocorre quando a frente passa por você). Em coordenadas da plataforma:
- Perguntas:
a) No referencial do maquinista (ou seja, no referencial do trem), quanto tempo decorre entre A (emissão) e B (detecção)? Esse intervalo é próprio para o maquinista?
b) No referencial da plataforma (o seu cronômetro), quanto tempo passa entre A e B? Esse intervalo é próprio para você?
c) Se o circuito falha e o trem não freia, quanto marca seu cronômetro desde A até C? Esse intervalo é próprio?
Passo 2
Primeiro calculo algumas quantidades-relacionadas à relatividade: o fator de Lorentz e o comprimento contraído do trem no referencial da plataforma. Vou explicar as fórmulas que uso.
- O fator de Lorentz
é dado por
Explicação curta:
aparece nas transformações entre tempos e posições de referenciais em movimento relativo. Ele é maior que 1 quando
é uma fração apreciável de
.
Calculo numérico:
- Comprimento medido na plataforma (
, comprimento contraído) relaciona-se com o comprimento próprio por
Explicação: um objeto em movimento tem seu comprimento na direção do movimento reduzido por
quando medido por observadores em relação ao qual o objeto se move (isso é o efeito de contração de Lorentz).
Calculo:
Resumo útil para os próximos passos:
,
,
,
,
.
Passo 3
(a) Tempo no referencial do maquinista entre emissão e detecção (no trem): argumentos e cálculo passo a passo.
- No referencial do trem (o maquinista), o trem está em repouso e a distância entre a frente (onde o flash é emitido) e a traseira (onde está o sensor) é simplesmente o comprimento próprio
. - A velocidade da luz no vácuo é a mesma em todos os referenciais inerciais; no referencial do trem o flash viaja com velocidade
do ponto da frente até a traseira. - Assim o tempo medido no referencial do trem entre emissão e detecção é
- Substituindo números:
Agora sobre se esse intervalo é próprio: definição e aplicação.
- Definição: um intervalo de tempo é próprio para um observador quando os dois eventos que definem esse intervalo ocorrem no mesmo ponto do espaço no referencial desse observador (ou seja, podem ser registrados por um único relógio que permanece em um lugar).
- No referencial do maquinista os dois eventos são: emissão (na frente) e detecção (na traseira). Esses eventos ocorrem em lugares diferentes no trem (frente e traseira), portanto não ocorrem no mesmo ponto para o maquinista.
- Conclusão: o intervalo
não é um tempo próprio do maquinista.
Passo 4
(b) Tempo marcado no cronômetro da plataforma (seu cronômetro) entre A (frente passa por você e você começa) e B (flash atinge sensor): dedução direta no referencial da plataforma.
Explicação do método: no referencial da plataforma, o flash parte da posição
em
e vai na direção negativa (para a traseira que está atrás da frente). A traseira do trem se move para a direita com velocidade
. Então resolvemos o encontro entre o pulso de luz (que viaja para a esquerda com velocidade
) e a traseira (que se desloca para a direita).
- Posição do pulso de luz no referencial da plataforma (partindo de
e indo para a esquerda): . - Posição da traseira no referencial da plataforma (no instante
a traseira está em , pois a frente está em e o comprimento do trem medido aqui é ): . - A detecção ocorre quando
. Igualando:
- Resolvo para
:
- Substituindo
, , :
Agora sobre ser próprio: os dois eventos (A em
e B em
diferente de zero) ocorrem em posições diferentes no referencial da plataforma; o seu cronômetro está em
e não acompanha o evento B no mesmo lugar, entretanto o enunciado pede quanto marca seu cronômetro no instante em que B ocorre (ou seja, quanto tempo se passou na plataforma entre A e B). Formalmente, para que o intervalo seja próprio para você, os dois eventos teriam de ocorrer em
. Isso não acontece. Portanto o intervalo
não é um tempo próprio do observador da plataforma.
Passo 5
(Checagem rápida com transformação de Lorentz — mostra consistência entre os referenciais)
- No referencial do trem, em coordenadas primadas, temos:
- Emissão:
. - Detecção:
(o sinal negativo indica que a traseira está “atrás” da frente).
- Emissão:
- A transformação de Lorentz para o tempo (do trem para a plataforma, assumindo eixos alinhados) é:
- Aplicando para o evento B:
- Usando
(porque ), obtemos
Com alguma álgebra isso é equivalente a
; numericamente ambos dão
. Isso confirma que o cálculo direto feito no referencial da plataforma está coerente com a transformação relativística.
Passo 6
(c) Tempo no seu cronômetro entre A (frente passa por você) e C (traseira passa por você) no caso do trem não ser freado — cálculo e discussão de se é intervalo próprio.
- No referencial da plataforma, a traseira parte de
em e se move com velocidade . Ela passa por você (em ) quando
- Substituindo
e :
Agora se esse intervalo é próprio para você: os dois eventos de interesse agora (A e C) ocorrem ambos em
no referencial da plataforma: A é a passagem da frente por você em
e C é a passagem da traseira por você em
. Portanto ambos ocorrem no mesmo lugar em relação ao seu cronômetro. Logo o tempo
é um tempo próprio do observador da plataforma (é o tempo medido diretamente por um único relógio que esteve presente em ambos os eventos).
Resposta
(a)
. Não é um intervalo próprio.
(b)
. Não é um intervalo próprio.
(c)
. É um intervalo próprio.