Uma experiente snowboarder inicia a descida do topo de uma grande montanha. À medida que ela desce a encosta, as coordenadas do GPS são usadas para determinar seu deslocamento em função do tempo:
, onde
são expressos em metros e segundos, respectivamente. Sabendo que ela parte do repouso, determine a posição, a velocidade e a aceleração da snowboarder quando t
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma snowboarder que está descendo uma montanha, e temos uma equação que relaciona a posição dela (
) com o tempo (
). A equação dada é:
Nosso objetivo aqui é descobrir três coisas quando o tempo
for igual a 5 segundos:
- Posição (
) - Velocidade (
) - Aceleração (
)
Para chegar lá, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a velocidade e a aceleração a partir da posição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a posição da snowboarder no instante
. Basta substituir
por 5 na equação dada:
Calculando cada parte:
- $ 0,5 \times 5^{3} = 0,5 \times 125 = 62,5 $
- $ 5^{2} = 25 $
- $ 2,0 \times 5 = 10 $
Agora, somamos tudo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a velocidade no instante
. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar a equação de
:
Calculando cada termo:
- Derivada de $ 0,5, t^{3} $ é $ 1,5, t^{2} $
- Derivada de $ t^{2} $ é $ 2, t $
- Derivada de $ 2,0, t $ é $ 2,0 $
Então, a equação da velocidade fica:
Agora, substituímos
:
Passo 4
Por fim, vamos calcular a aceleração no instante
. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição. Vamos derivar a equação da velocidade:
Calculando cada termo:
- Derivada de $ 1,5, t^{2} $ é $ 3, t $
- Derivada de $ 2, t $ é $ 2 $
- Derivada de $ 2,0 $ é $ 0 $ (já que é uma constante)
Então, a equação da aceleração fica:
Agora, substituímos
:
Resposta
Quando
, a snowboarder está na posição de 97,5 metros, sua velocidade é de 49,5 metros por segundo e sua aceleração é de 17 metros por segundo ao quadrado.