Uma experiente snowboarder inicia a descida do topo de uma grande montanha. À medida que ela desce a encosta, as coordenadas do GPS são usadas para determinar seu deslocamento em função do tempo: x=0,5 t^3+t^2+2,0 t, onde x e t são expressos em metros e segundos, respectivamente. Sabendo que ela parte do repouso, determine a posição, a velocidade e a aceleração da snowboarder quando t =5,0 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma snowboarder que está descendo uma montanha, e temos uma equação que relaciona a posição dela ( x) com o tempo ( t). A equação dada é:
x = 0,5, t^3 + t^2 + 2,0, t
Nosso objetivo aqui é descobrir três coisas quando o tempo t for igual a 5 segundos:
  1. Posição ( x)
  2. Velocidade ( v)
  3. Aceleração ( a)
Para chegar lá, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a velocidade e a aceleração a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição da snowboarder no instante t = 5, segundos. Basta substituir t por 5 na equação dada:
x = 0,5, (5)^3 + (5)^2 + 2,0, (5)
Calculando cada parte:
  • $ 0,5 \times 5^{3} = 0,5 \times 125 = 62,5 $
  • $ 5^{2} = 25 $
  • $ 2,0 \times 5 = 10 $
Agora, somamos tudo:
0,5 times 5^3 = 0,5 times 125 = 62,5

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade no instante t = 5, segundos. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar a equação de x:
v(t) = dxdt = ddt(0,5, t^3 + t^2 + 2,0, t)
Calculando cada termo:
  • Derivada de $ 0,5, t^{3} $ é $ 1,5, t^{2} $
  • Derivada de $ t^{2} $ é $ 2, t $
  • Derivada de $ 2,0, t $ é $ 2,0 $
Então, a equação da velocidade fica:
0,5, t^3
Agora, substituímos 1,5, t^2 :
t^2

Passo 4

Por fim, vamos calcular a aceleração no instante t = 5, segundos. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição. Vamos derivar a equação da velocidade:
a(t) = dvdt = ddt(1,5, t^2 + 2, t + 2,0)
Calculando cada termo:
  • Derivada de $ 1,5, t^{2} $ é $ 3, t $
  • Derivada de $ 2, t $ é $ 2 $
  • Derivada de $ 2,0 $ é $ 0 $ (já que é uma constante)
Então, a equação da aceleração fica:
1,5, t^2
Agora, substituímos 3, t :
2, t

Resposta

Quando t = 5,0, segundos, a snowboarder está na posição de 97,5 metros, sua velocidade é de 49,5 metros por segundo e sua aceleração é de 17 metros por segundo ao quadrado.

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