Um sistema de oscilações amortecidas tem período de
. Sabendo que a energia cai
a cada ciclo, calcule:
A frequência angular
.
A frequência angular
Passo 1
Vamos resolver um exercício de oscilações amortecidas. O enunciado nos dá que o período de oscilações é de
segundos e que a energia do sistema diminui
a cada ciclo. Nosso objetivo é encontrar a frequência angular
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de período, frequência angular e como a energia decai em sistemas amortecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o período
de uma oscilação é o tempo que leva para completar um ciclo completo. A frequência angular
está relacionada ao período pela fórmula:
Onde
é aproximadamente
.
Passo 3
Cálculo da frequência angular amortecida
. Usando o período dado:
Passo 4
Agora, precisamos relacionar a energia que decai
a cada ciclo. A energia em oscilações amortecidas decai exponencialmente com o tempo, e podemos expressar essa decaída como:
Isso significa que a energia após cada período é
da energia anterior.
Passo 5
A decaída da energia está relacionada ao coeficiente de amortecimento
. Sabemos que a energia decai conforme:
Após um período
, temos:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Isolando
:
Calculando:
Passo 6
Para encontrar a frequência angular não amortecida
, usamos a relação entre
,
e
:
Substituindo os valores:
Resposta
A frequência angular
é aproximadamente
.