Um sistema de oscilações amortecidas tem período de 
 . Sabendo que a energia cai 
  a cada ciclo, calcule:
A frequência angular 
 .
A frequência angular
Passo 1
Vamos resolver um exercício de oscilações amortecidas. O enunciado nos dá que o período de oscilações é de 
  segundos e que a energia do sistema diminui 
  a cada ciclo. Nosso objetivo é encontrar a frequência angular 
 . Para isso, vamos precisar entender conceitos de período, frequência angular e como a energia decai em sistemas amortecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o período 
  de uma oscilação é o tempo que leva para completar um ciclo completo. A frequência angular 
  está relacionada ao período pela fórmula:
Onde 
  é aproximadamente 
 .
Passo 3
Cálculo da frequência angular amortecida 
 . Usando o período dado:
Passo 4
Agora, precisamos relacionar a energia que decai 
  a cada ciclo. A energia em oscilações amortecidas decai exponencialmente com o tempo, e podemos expressar essa decaída como:
Isso significa que a energia após cada período é 
  da energia anterior.
Passo 5
A decaída da energia está relacionada ao coeficiente de amortecimento 
 . Sabemos que a energia decai conforme:
Após um período 
 , temos:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Isolando 
 :
Calculando:
Passo 6
Para encontrar a frequência angular não amortecida 
 , usamos a relação entre 
 , 
  e 
 :
Substituindo os valores:
Resposta
A frequência angular 
  é aproximadamente 
 .