Um sistema de oscilações amortecidas tem período de 2,5 s. Sabendo que a energia cai 10 % a cada ciclo, calcule:
A frequência angular omega0.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de oscilações amortecidas. O enunciado nos dá que o período de oscilações é de segundos e que a energia do sistema diminui a cada ciclo. Nosso objetivo é encontrar a frequência angular . Para isso, vamos precisar entender conceitos de período, frequência angular e como a energia decai em sistemas amortecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o período omega = 2piT de uma oscilação é o tempo que leva para completar um ciclo completo. A frequência angular está relacionada ao período pela fórmula:
Onde é aproximadamente .

Passo 3

Cálculo da frequência angular amortecida omegad = 2pi2,5 = 6,28322,5 approx 2,513 , rad/s . Usando o período dado:

Passo 4

Agora, precisamos relacionar a energia que decai En+1 = 0,9 , En a cada ciclo. A energia em oscilações amortecidas decai exponencialmente com o tempo, e podemos expressar essa decaída como:
Isso significa que a energia após cada período é da energia anterior.

Passo 5

A decaída da energia está relacionada ao coeficiente de amortecimento E(t) = E0 e^-2gamma t . Sabemos que a energia decai conforme:
0,9 = e^-2gamma T
Após um período ln(0,9) = -2gamma T , temos:
gamma = -ln(0,9)2T
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
gamma = -ln(0,9)2 times 2,5 = 0,105365 approx 0,02107 , rad/s
Isolando :
Calculando:

Passo 6

Para encontrar a frequência angular não amortecida omega0 = raizomegad^2 + gamma^2 , usamos a relação entre omega0 = raiz(2,513)^2 + (0,02107)^2 approx raiz6,565 + 0,000443 approx raiz6,565443 approx 2,561 , rad/s , e :
Substituindo os valores:

Resposta

A frequência angular é aproximadamente .

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