movimento de uma partícula é definido pela relação
, onde x e t são expressos em metros e segundos, respectivamente. Determine o tempo, a posição e a aceleração da partícula quando
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função que descreve a posição $ x $ de uma partícula em função do tempo $ t $:
O conteúdo que vamos precisar para resolver isso envolve cinemática, especificamente derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração. Vamos precisar derivar a função posição para encontrar a velocidade ($ v
a $).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a expressão da velocidade $ v(t) $, que é a derivada da posição em relação ao tempo. A derivada basicamente nos diz a taxa de variação da posição.
Derivando cada termo da função $ x $:
- A derivada de $ 2,0 t^{3} $ é $ 6,0 t^{2} $
- A derivada de $ -9,0 t^{2} $ é $ -18,0 t $
- A derivada de $ 12 t $ é $ 12 $
- A derivada de $ 10 $ (constante) é $ 0 $
Então, a função da velocidade fica:
Passo 3
Agora, queremos saber quando a velocidade $ v(t) $ é igual a zero. Ou seja, vamos resolver a equação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 6:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Os fatores que multiplicados dão 2 e somados dão -3 são -1 e -2. Então:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 4
Agora que temos os tempos em que a velocidade é zero, vamos encontrar a posição $ x $ da partícula nesses momentos. Vamos substituir $ t = 1 $ e $ t = 2 $ na função posição.
Para $ t = 1 $:
Para $ t = 2 $:
Passo 5
Por fim, vamos encontrar a aceleração $ a(t) $, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
Derivando a função da velocidade $ v(t) $:
- A derivada de $ 6,0 t^{2} $ é $ 12,0 t $
- A derivada de $ -18,0 t $ é $ -18,0 $
- A derivada de $ 12 $ é $ 0 $
Então, a função da aceleração fica:
Agora, vamos calcular $ a(t) $ para $ t = 1 $ e $ t = 2 $:
Para $ t = 1 $:
Para $ t = 2 $:
Resposta
Quando a velocidade da partícula é zero, os tempos são $ t = 1 , s $ e $ t = 2 , s $.
-
Para $ t = 1 , s $:
- Posição: $ x = 15 , m $
- Aceleração: $ a = -6,0 , m/s^{2} $
-
Para $ t = 2 , s $:
- Posição: $ x = 14 , m $
- Aceleração: $ a = 6,0 , m/s^{2} $