Em um experimento binomial com três provas, a probabilidade de exatamente dois sucessos é 12 vezes a probabilidade de três sucessos. Encontre p.

Passo 1

O enunciado dá um experimento binomial com três provas (ou três tentativas) e informa que a probabilidade de exatamente dois sucessos é doze vezes a probabilidade de três sucessos. O que precisa ser encontrado é o valor da probabilidade de sucesso em cada prova, que chamarei de p.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Número de provas: n=3.
  • Queremos p tal que a probabilidade de exatamente dois sucessos seja doze vezes a probabilidade de exatamente três sucessos, isto é:
\Pr(X=2)=12\Pr(X=3).
O pedido é apenas: encontrar p.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula da distribuição binomial — é a ferramenta que vamos usar. Se X é o número de sucessos em n tentativas independentes, cada uma com probabilidade de sucesso p, então
\Pr(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{\,n-k},
onde:
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (o número de maneiras de escolher k sucessos entre n tentativas),
  • p^{k} é a probabilidade de ocorrerem os k sucessos,
  • (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade de ocorrerem as n-k falhas.
Vou aplicar essa fórmula para n=3 e k=2 e k=3.

Passo 3

Calcular \Pr(X=2) usando a fórmula:
\Pr(X=2)=\binom{3}{2} p^{2} (1-p)^{1}.
Aqui \binom{3}{2}=3, então
\Pr(X=2)=3 p^{2}(1-p).
Calcular \Pr(X=3):
\Pr(X=3)=\binom{3}{3} p^{3} (1-p)^{0}.
Aqui \binom{3}{3}=1 e (1-p)^{0}=1, então
\Pr(X=3)=p^{3}.

Passo 4

Escrever a condição dada pelo enunciado substituindo as expressões que encontramos:
3 p^{2}(1-p)=12 p^{3}.
Antes de manipular a equação, observar um ponto importante: se p=0 então ambos lados são zero ( 0=0), ou seja, a igualdade fica satisfeita de forma trivial. Mas normalmente buscamos valores p em [0,1] e, salvo menção a excluir casos triviais, devemos listar todas as soluções. Ao resolver a equação, vou tratar separadamente o caso p=0 (para não dividir por zero) e depois considerar as soluções não triviais com p\neq0.

Passo 5

Primeiro, o caso p=0:
  • Se p=0 então \Pr(X=2)=0 e \Pr(X=3)=0, logo a igualdade \Pr(X=2)=12\Pr(X=3) é verdadeira ( 0=12\cdot0 ). Assim p=0 é uma solução matemática da equação, embora seja trivial (nenhum sucesso possível).
Agora, supondo p\neq 0, podemos dividir ambos os lados por p^{2} para simplificar:
3(1-p)=12 p.
Desenvolvendo:
3-3p=12p.
Agrupando termos em p:
3=12p+3p=15p.
Isolando p:
p=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}.
Verificação rápida (boa prática para prova): com p=\frac{1}{5},
\Pr(X=2)=3\left(\frac{1}{5}\right)^{2}\left(1-\frac{1}{5}\right) =3\cdot\frac{1}{25}\cdot\frac{4}{5} =3\cdot\frac{4}{125} =\frac{12}{125},
e
\Pr(X=3)=\left(\frac{1}{5}\right)^{3}=\frac{1}{125}.
De fato \Pr(X=2)=\frac{12}{125}=12\cdot\frac{1}{125}=12\Pr(X=3), então p=\frac{1}{5} funciona.

Passo 6

Interpretação final e dica para a prova: matematicamente há duas soluções em [0,1], p=0 e p=\frac{1}{5}. Na prática de provas, costuma-se procurar a solução não trivial p=\frac{1}{5}, porque p=0 é degenerate (nenhum sucesso jamais acontece). Se o enunciado não proibir casos triviais, é correcto mencionar ambos; se espera-se uma resposta sensata para probabilidade de sucesso diferente de zero, escolha p=\frac{1}{5}.
Força aí — você já viu o raciocínio completo e as contas passo a passo; esse tipo de equação é pedrada clássica em prova e dá pra fazer rápido com prática.

Resposta

p=0
p=\dfrac{1}{5}

Exercícios relacionados