Em um experimento binomial com três provas, a probabilidade de exatamente dois sucessos é 12 vezes a probabilidade de três sucessos. Encontre
.
Passo 1
O enunciado dá um experimento binomial com três provas (ou três tentativas) e informa que a probabilidade de exatamente dois sucessos é doze vezes a probabilidade de três sucessos. O que precisa ser encontrado é o valor da probabilidade de sucesso em cada prova, que chamarei de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Número de provas:
. - Queremos
tal que a probabilidade de exatamente dois sucessos seja doze vezes a probabilidade de exatamente três sucessos, isto é:
O pedido é apenas: encontrar
.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula da distribuição binomial — é a ferramenta que vamos usar. Se
é o número de sucessos em
tentativas independentes, cada uma com probabilidade de sucesso
, então
onde:
-
é o coeficiente binomial (o número de maneiras de escolher sucessos entre tentativas), -
é a probabilidade de ocorrerem os sucessos, -
é a probabilidade de ocorrerem as falhas.
Vou aplicar essa fórmula para
e
e
.
Passo 3
Calcular
usando a fórmula:
Aqui
, então
Calcular
:
Aqui
e
, então
Passo 4
Escrever a condição dada pelo enunciado substituindo as expressões que encontramos:
Antes de manipular a equação, observar um ponto importante: se
então ambos lados são zero (
), ou seja, a igualdade fica satisfeita de forma trivial. Mas normalmente buscamos valores
em
e, salvo menção a excluir casos triviais, devemos listar todas as soluções. Ao resolver a equação, vou tratar separadamente o caso
(para não dividir por zero) e depois considerar as soluções não triviais com
.
Passo 5
Primeiro, o caso
:
- Se
então e , logo a igualdade é verdadeira ( ). Assim é uma solução matemática da equação, embora seja trivial (nenhum sucesso possível).
Agora, supondo
, podemos dividir ambos os lados por
para simplificar:
Desenvolvendo:
Agrupando termos em
:
Isolando
:
Verificação rápida (boa prática para prova): com
,
e
De fato
, então
funciona.
Passo 6
Interpretação final e dica para a prova: matematicamente há duas soluções em
,
e
. Na prática de provas, costuma-se procurar a solução não trivial
, porque
é degenerate (nenhum sucesso jamais acontece). Se o enunciado não proibir casos triviais, é correcto mencionar ambos; se espera-se uma resposta sensata para probabilidade de sucesso diferente de zero, escolha
.
Força aí — você já viu o raciocínio completo e as contas passo a passo; esse tipo de equação é pedrada clássica em prova e dá pra fazer rápido com prática.