( 2,0 pontos) Em uma empresa de pesquisa determinou-se que a probabilidade de haver crise energética é de
e que a probabilidade de haver aumento do desemprego é de
. Sabendo-se que a probabilidade de aumento no desemprego dado que houve crise energética é de 70%, responda:
a) Qual a probabilidade de não haver crise energética e haver aumento no desemprego?
b) Qual a probabilidade de haver aumento no desemprego dado que não houve crise energética?
a) Qual a probabilidade de não haver crise energética e haver aumento no desemprego?
b) Qual a probabilidade de haver aumento no desemprego dado que não houve crise energética?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede:
- Dados fornecidos:
- Probabilidade de haver crise energética:
. - Probabilidade de haver aumento do desemprego:
. - Probabilidade de aumento do desemprego dado que houve crise energética:
.
- Probabilidade de haver crise energética:
- Perguntas:
- (a) Qual a probabilidade de não haver crise energética e haver aumento no desemprego? Ou seja, calcular
. - (b) Qual a probabilidade de haver aumento no desemprego dado que não houve crise energética? Ou seja, calcular
.
- (a) Qual a probabilidade de não haver crise energética e haver aumento no desemprego? Ou seja, calcular
Passo 2
Conceito importante 1 — Probabilidade condicional e regra da multiplicação:
- A probabilidade condicional
é definida como
- Dessa definição segue a regra de multiplicação útil:
Isto significa: a probabilidade de ocorrerem ambos os eventos
e
é a probabilidade de
acontecer multiplicada pela probabilidade de
acontecer dado que
já ocorreu.
Passo 3
Aplicando a regra da multiplicação com os números dados para encontrar
:
Calculemos com cuidado, fazendo na forma que dá para fazer sem calculadora:
é
e
é
, então o produto é
.
Portanto
Portanto
Passo 4
Conceito importante 2 — Partição e lei da soma:
- Os eventos
e formam uma partição do espaço (ou seja, ou ocorre ou ocorre , sem sobreposição e cobrindo todos os casos). - Pela aditividade da probabilidade para eventos mutuamente exclusivos vale:
Essa fórmula nos permite encontrar
isolando-o.
Passo 5
Calcular
usando os valores conhecidos:
Isto responde a letra (a): a probabilidade de não haver crise e ainda assim haver aumento do desemprego é
(ou
).
Passo 6
Conceito importante 3 — Probabilidade condicional dada a negação:
- A probabilidade solicitada em (b) é
, e pela definição de probabilidade condicional:
Já temos
. Só falta
.
Passo 7
Calcular
:
Passo 8
Agora calcular
:
Simplificando a fração: multiplicando numerador e denominador por
obtemos
. Em decimal isso é aproximadamente
, ou seja cerca de
(arredondando) — que em porcentagem é aproximadamente
.
Passo 9
Recapitulando de forma amigável: a parte (a) veio direto da lei da soma (subtrair a parte que ocorre com crise), e a parte (b) veio da definição de probabilidade condicional dividindo pela probabilidade de não crise. Dá para decorar o caminho: primeiro calcule as interseções via
, depois use
, e por fim a definição de condicional para obter
. Força aí — já era!
Resposta
a)
b)
b)