( 2,0 pontos) Em uma empresa de pesquisa determinou-se que a probabilidade de haver crise energética é de 40 \% e que a probabilidade de haver aumento do desemprego é de 35 \%. Sabendo-se que a probabilidade de aumento no desemprego dado que houve crise energética é de 70%, responda:
a) Qual a probabilidade de não haver crise energética e haver aumento no desemprego?
b) Qual a probabilidade de haver aumento no desemprego dado que não houve crise energética?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Dados fornecidos:
    • Probabilidade de haver crise energética: P\text{(C)}=0,40.
    • Probabilidade de haver aumento do desemprego: P(U)=0,35.
    • Probabilidade de aumento do desemprego dado que houve crise energética: P(U\mid C)=0,70.
  • Perguntas:
    • (a) Qual a probabilidade de não haver crise energética e haver aumento no desemprego? Ou seja, calcular P(U\cap C^{c}).
    • (b) Qual a probabilidade de haver aumento no desemprego dado que não houve crise energética? Ou seja, calcular P(U\mid C^{c}).

Passo 2

Conceito importante 1 — Probabilidade condicional e regra da multiplicação:
  • A probabilidade condicional P(U\mid C) é definida como
P(U\mid C)=\frac{P(U\cap C)}{P\text{(C)}}.
  • Dessa definição segue a regra de multiplicação útil:
P(U\cap C)=P(U\mid C)\,P\text{(C)}.
Isto significa: a probabilidade de ocorrerem ambos os eventos U e C é a probabilidade de C acontecer multiplicada pela probabilidade de U acontecer dado que C já ocorreu.

Passo 3

Aplicando a regra da multiplicação com os números dados para encontrar P(U\cap C):
P(U\cap C)=P(U\mid C)\,P\text{(C)}=0,70\times0,40.
Calculemos com cuidado, fazendo na forma que dá para fazer sem calculadora: 0{,}70 é 70/100 e 0{,}40 é 40/100, então o produto é (70\cdot40)/10000=2800/10000=0{,}28.
Portanto
P(U\cap C)=0{,}28.

Passo 4

Conceito importante 2 — Partição e lei da soma:
  • Os eventos C e C^{c} formam uma partição do espaço (ou seja, ou ocorre C ou ocorre C^{c}, sem sobreposição e cobrindo todos os casos).
  • Pela aditividade da probabilidade para eventos mutuamente exclusivos vale:
P(U)=P(U\cap C)+P(U\cap C^{c}).
Essa fórmula nos permite encontrar P(U\cap C^{c}) isolando-o.

Passo 5

Calcular P(U\cap C^{c}) usando os valores conhecidos:
P(U\cap C^{c})=P(U)-P(U\cap C)=0{,}35-0{,}28=0{,}07.
Isto responde a letra (a): a probabilidade de não haver crise e ainda assim haver aumento do desemprego é 0{,}07 (ou 7\%).

Passo 6

Conceito importante 3 — Probabilidade condicional dada a negação:
  • A probabilidade solicitada em (b) é P(U\mid C^{c}), e pela definição de probabilidade condicional:
P(U\mid C^{c})=\frac{P(U\cap C^{c})}{P(C^{c})}.
Já temos P(U\cap C^{c}). Só falta P(C^{c}).

Passo 7

Calcular P(C^{c}):
P(C^{c})=1-P\text{(C)}=1-0{,}40=0{,}60.

Passo 8

Agora calcular P(U\mid C^{c}):
P(U\mid C^{c})=\frac{P(U\cap C^{c})}{P(C^{c})}=\frac{0{,}07}{0{,}60}.
Simplificando a fração: multiplicando numerador e denominador por 100 obtemos \dfrac{7}{60}. Em decimal isso é aproximadamente 0{,}116\overline{6}, ou seja cerca de 0{,}1167 (arredondando) — que em porcentagem é aproximadamente 11{,}67\%.

Passo 9

Recapitulando de forma amigável: a parte (a) veio direto da lei da soma (subtrair a parte que ocorre com crise), e a parte (b) veio da definição de probabilidade condicional dividindo pela probabilidade de não crise. Dá para decorar o caminho: primeiro calcule as interseções via P(\cdot\cap C)=P(\cdot\mid C)P\text{(C)}, depois use P(\cdot)=P(\cdot\cap C)+P(\cdot\cap C^{c}), e por fim a definição de condicional para obter P(\cdot\mid C^{c}). Força aí — já era!

Resposta

a) 0{,}07 (7\%)
b) \dfrac{7}{60}\approx0{,}116\overline{6} \approx11{,}67\%

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