Determine o seguinte:
Passo 1
O enunciado pede para determinar
.
Informações dadas: nenhuma sobre a distribuição de (não foi dito se
é contínua ou discreta, nem sua função densidade, nem sua função massa, nem média, nem desvio padrão, nada).
Informações dadas: nenhuma sobre a distribuição de
Conclusão imediata: com os dados fornecidos NÃO dá para obter um valor numérico único — falta a descrição da distribuição de
. Vou, no entanto, explicar passo a passo o que isso significa e mostrar como resolver quando a distribuição for conhecida (para você saber fazer na prova).
Passo 2
Fórmula geral usando a função de distribuição acumulada (CDF).
Defina , a função de distribuição acumulada de
. Então, de forma geral vale a identidade
Defina
Explicação curta do porquê:
. Isolando o termo procurado obtemos a diferença. Essa igualdade é válida para qualquer variável aleatória (discreta, contínua ou mista).
Passo 3
Como calcular na prática, dependendo do tipo de
.
- Se
for contínua com densidade , então a CDF é e
Nesse caso a presença dos sinais
e
não altera o valor porque para variáveis contínuas
.
- Se
for discreta com função massa (valores inteiros, por exemplo), então
Aqui os pontos atômicos (probabilidades em valores isolados) importam.
- Se
for mista, use a CDF e a fórmula ; fique atento a massas pontuais em ou .
Passo 4
Exemplo 1 — caso simples e fácil de fazer sem calculadora:
uniforme em
.
Aqui a densidade é para
. Logo
Aqui a densidade é
Este é um exemplo de como se resolve quando a densidade é simples.
Passo 5
Exemplo 2 — variável Normal
.
A técnica padrão é padronizar: se é a CDF da normal padrão
, então
A técnica padrão é padronizar: se
Exemplo numérico: se
e
, então
portanto
(Use tabela ou calculadora para valores de
.)
Passo 6
Exemplo 3 —
discreta, por exemplo Poisson com parâmetro
.
Se ,
Se
o que normalmente é calculado por função acumulada de Poisson na calculadora ou por aproximação normal quando
é grande (usando correção de continuidade).
Passo 7
Dicas para a prova (práticas e motivadoras):
- Primeiro passo sempre: identifique a distribuição de
. Sem isso não tem número único. - Se der a CDF
, calcule . Se der PDF , calcule . Se for discreta, some as massas. - Se for normal, padronize e use tabela de
. Se for complicado, veja se há aproximação (por ex. normal para binomial/Poisson grande). - Calma: a ideia é sempre a mesma (diferença de CDFs). Se você souber isso você já resolve 90% das questões parecidas.
Resposta
Não é possível determinar um valor numérico único porque a distribuição de
não foi fornecida. Em termos gerais,
onde
é a função de distribuição acumulada de
.