Determine o seguinte:
P(100<X \leq 200)

Passo 1

O enunciado pede para determinar P(100<X\leq 200).
Informações dadas: nenhuma sobre a distribuição de X (não foi dito se X é contínua ou discreta, nem sua função densidade, nem sua função massa, nem média, nem desvio padrão, nada).
Conclusão imediata: com os dados fornecidos NÃO dá para obter um valor numérico único — falta a descrição da distribuição de X. Vou, no entanto, explicar passo a passo o que isso significa e mostrar como resolver quando a distribuição for conhecida (para você saber fazer na prova).

Passo 2

Fórmula geral usando a função de distribuição acumulada (CDF).
Defina F(x)=P(X\leq x), a função de distribuição acumulada de X. Então, de forma geral vale a identidade
P(100<X\leq 200)=F(200)-F(100).
Explicação curta do porquê: F(200)=P(X\leq200)=P(X\leq100)+P(100<X\leq200). Isolando o termo procurado obtemos a diferença. Essa igualdade é válida para qualquer variável aleatória (discreta, contínua ou mista).

Passo 3

Como calcular na prática, dependendo do tipo de X.
  • Se X for contínua com densidade f(x), então a CDF é F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt e
P(100<X\leq 200)=\int_{100}^{200} f(x)\,dx.
Nesse caso a presença dos sinais < e \leq não altera o valor porque para variáveis contínuas P(X=100)=0.
  • Se X for discreta com função massa p(k)=P(X=k) (valores inteiros, por exemplo), então
P(100<X\leq 200)=\sum_{k=101}^{200} p(k).
Aqui os pontos atômicos (probabilidades em valores isolados) importam.
  • Se X for mista, use a CDF F e a fórmula F(200)-F(100); fique atento a massas pontuais em 100 ou 200.

Passo 4

Exemplo 1 — caso simples e fácil de fazer sem calculadora: X uniforme em [0,300].
Aqui a densidade é f(x)=\dfrac{1}{300} para 0\le x\le300. Logo
P(100<X\leq200)=\int_{100}^{200}\frac{1}{300}\,dx=\frac{200-100}{300}=\frac{100}{300}=\frac{1}{3}\approx0,333\ldots
Este é um exemplo de como se resolve quando a densidade é simples.

Passo 5

Exemplo 2 — variável Normal X\sim N(\mu,\sigma^2).
A técnica padrão é padronizar: se \Phi é a CDF da normal padrão N(0,1), então
P(100<X\leq200)=\Phi\!\bigg(\frac{200-\mu}{\sigma}\bigg)-\Phi\!\bigg(\frac{100-\mu}{\sigma}\bigg).
Exemplo numérico: se \mu=150 e \sigma=20, então
\frac{100-\mu}{\sigma}=\frac{100-150}{20}=-2{,}5,\qquad \frac{200-\mu}{\sigma}=\frac{200-150}{20}=2{,}5,
portanto
P(100<X\leq200)=\Phi(2{,}5)-\Phi(-2{,}5)\approx 0{,}9938-0{,}0062=0{,}9876.
(Use tabela ou calculadora para valores de \Phi.)

Passo 6

Exemplo 3 — X discreta, por exemplo Poisson com parâmetro \lambda.
Se X\sim\text{Poisson}(\lambda),
P(100<X\leq200)=\sum_{k=101}^{200} e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
o que normalmente é calculado por função acumulada de Poisson na calculadora ou por aproximação normal quando \lambda é grande (usando correção de continuidade).

Passo 7

Dicas para a prova (práticas e motivadoras):
  • Primeiro passo sempre: identifique a distribuição de X. Sem isso não tem número único.
  • Se der a CDF F, calcule F(200)-F(100). Se der PDF f, calcule \int_{100}^{200} f. Se for discreta, some as massas.
  • Se for normal, padronize e use tabela de \Phi. Se for complicado, veja se há aproximação (por ex. normal para binomial/Poisson grande).
  • Calma: a ideia é sempre a mesma (diferença de CDFs). Se você souber isso você já resolve 90% das questões parecidas.

Resposta

Não é possível determinar um valor numérico único porque a distribuição de X não foi fornecida. Em termos gerais,
P(100<X\leq 200)=F(200)-F(100),
onde F é a função de distribuição acumulada de X.

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