No experimento biológico a seguir, quatro concentrações de certo produto químico são usadas para aumentar o crescimento de certo tipo de planta ao longo do tempo. Cinco plantas forma utilizadas e o crescimento de cada uma delas foi medida em centímetros. Um controle (sem produto químico) tambim foi aplicado.
Concentração
Controle (0) 1 2 3 4
6,8 8,2 7,7 6,9 5,9
7,3 8,7 8,4 5,8 6,1
6,3 9,4 8,6 7,2 6,9
6,9 9,2 8,1 6,8 5,7
7,1 8,6 8,0 7,4 6,1
Utilize uma ANOVA fator único para avaliar se as diferentes concentrações influenciam o crescimento das plantas. Use alpha=5 %.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem cinco grupos de plantas (controle + quatro concentrações: 0, 1, 2, 3, 4) com cinco medições de crescimento cada. Queremos usar ANOVA de um fator (ou “one‐way ANOVA”) com α = 5 % para ver se as diferentes concentrações influenciam de verdade o crescimento.
Conteúdo: análise de variância (ANOVA).
O que vamos precisar:
  1. A média de cada grupo e a média geral;
  2. Calcular as somas de quadrados entre (SS_B) e dentro (SS_W);
  3. Obter os graus de liberdade, as médias quadráticas, a estatística F e comparar com F crítico.

Passo 2

Primeiro a gente calcula as médias de cada concentração e a média geral. Chamo de bar xj a média do grupo j e de bar x a média global.
Dados por grupo (já somei lá atrás):
  • Controle (0): 6,8,7,3,6,3,6,9,7,1 bar x0 = 6,88
  • Concentração 1: bar x1 = 8,82
  • Concentração 2: bar x2 = 8,16
  • Concentração 3: bar x3 = 6,82
  • Concentração 4: bar x4 = 6,14
    Média geral em todos os 25 valores:
bar x = sumj=0^4 sumi=1^5 xij25 = 7,364

Passo 3

Agora a gente calcula as somas de quadrados. A ideia da ANOVA é partir da variação total e dividir em variação “entre grupos” (SS_B) e “dentro dos grupos” (SS_W).
  1. SS_B (entre grupos):
SSB = sumj=0^4 njl(bar xj - bar xr)^2,
aqui cada nj=5. Substituindo, temos aproximadamente
SSB = 5l[(6,88-7,364)^2 + (8,82-7,364)^2 + dots + (6,14-7,364)^2r] approx 23,91
  1. SS_W (dentro dos grupos):
SSW = sumj=0^4 sumi=1^5 (xij-bar xj)^2 approx 4,35
Isso é só somar as diferenças de cada medida para a média do seu grupo.

Passo 4

Agora montamos a tabela da ANOVA:
  • Graus de liberdade entre: dfB = k-1 = 5-1 = 4
  • Graus de liberdade dentro: dfW = N-k = 25-5 = 20
  • Média quadrática entre: MSB = SSBdfB = 23,914 = 5,98
    - Média quadrática dentro:
    MSW = SSWdfW = 4,3520 = 0,217
  • Estatística F: F = MSBMSW = 5,980,217 approx 27,5
O valor crítico de F para (4,20) e alpha=0,05 é cerca de 2,87.

Resposta

Como Frm obtidoapprox27,5 > Frm críticoapprox2,87í, a gente rejeita H0. Ou seja, há evidência estatística de que as diferentes concentrações influenciam o crescimento das plantas.

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